Номер 8.10, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.1. Определение тангенса и котангенса угла - номер 8.10, страница 238.

Условие.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам α, для каждого из которых выполняется равенство (8.10–8.11):

8.10

а) $tg \alpha = 1$; б) $tg \alpha = 2$; в) $tg \alpha = 3$;

г) $tg \alpha = 4$; д) $tg \alpha = \frac{1}{2}$; е) $tg \alpha = \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точки, соответствующие углам $\alpha$, для которых выполняется равенство $\text{tg } \alpha = k$, используется геометрическая интерпретация тангенса с помощью оси тангенсов. Алгоритм действий следующий:

1. В декартовой системе координат рисуется единичная окружность с центром в точке $O(0, 0)$.

2. Проводится прямая, касательная к окружности в точке $(1, 0)$. Уравнение этой прямой — $x=1$. Эта прямая называется осью тангенсов.

3. На оси тангенсов ($x=1$) отмечается точка $T$ с ординатой (y-координатой), равной заданному значению тангенса $k$. Таким образом, точка $T$ имеет координаты $(1, k)$.

4. Через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, k)$ проводится прямая.

5. Точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность, и являются искомыми. Так как тангенс имеет период $\pi$, всегда будет две диаметрально противоположные точки пересечения.

а) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 1$.

На оси тангенсов (прямой $x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=1$. Координаты этой точки $T(1, 1)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 1)$. Эта прямая, заданная уравнением $y=x$, является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она пересекает единичную окружность в двух точках: в первой четверти, что соответствует углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ (или 45°), и в третьей четверти, что соответствует углу $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°). Координаты этих точек $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ соответственно.

Ответ: Искомые точки — это концы диаметра, лежащего на прямой $y=x$. Одна точка находится в первой четверти и соответствует углу $\frac{\pi}{4}$, другая — в третьей четверти и соответствует углу $\frac{5\pi}{4}$.

б) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 2$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=2$, то есть точку $T(1, 2)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 2)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(2)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(2) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 2)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

в) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 3$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=3$, то есть точку $T(1, 3)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 3)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(3)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(3) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 3)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

г) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 4$.

На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=4$, то есть точку $T(1, 4)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 4)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(4)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(4) + \pi$.

Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 4)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.

д) Для уравнения $\text{tg } \alpha =