Номер 8.10, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.10, страница 238.
№8.10 (с. 238)
Условие. №8.10 (с. 238)
скриншот условия

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам α, для каждого из которых выполняется равенство (8.10–8.11):
8.10а) $tg \alpha = 1$; б) $tg \alpha = 2$; в) $tg \alpha = 3$;
г) $tg \alpha = 4$; д) $tg \alpha = \frac{1}{2}$; е) $tg \alpha = \frac{1}{3}$.
Решение 1. №8.10 (с. 238)






Решение 2. №8.10 (с. 238)

Решение 3. №8.10 (с. 238)


Решение 4. №8.10 (с. 238)

Решение 5. №8.10 (с. 238)
Для того чтобы отметить на единичной окружности точки, соответствующие углам $\alpha$, для которых выполняется равенство $\text{tg } \alpha = k$, используется геометрическая интерпретация тангенса с помощью оси тангенсов. Алгоритм действий следующий:
1. В декартовой системе координат рисуется единичная окружность с центром в точке $O(0, 0)$.
2. Проводится прямая, касательная к окружности в точке $(1, 0)$. Уравнение этой прямой — $x=1$. Эта прямая называется осью тангенсов.
3. На оси тангенсов ($x=1$) отмечается точка $T$ с ординатой (y-координатой), равной заданному значению тангенса $k$. Таким образом, точка $T$ имеет координаты $(1, k)$.
4. Через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, k)$ проводится прямая.
5. Точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность, и являются искомыми. Так как тангенс имеет период $\pi$, всегда будет две диаметрально противоположные точки пересечения.
а) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 1$.
На оси тангенсов (прямой $x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=1$. Координаты этой точки $T(1, 1)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 1)$. Эта прямая, заданная уравнением $y=x$, является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она пересекает единичную окружность в двух точках: в первой четверти, что соответствует углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ (или 45°), и в третьей четверти, что соответствует углу $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°). Координаты этих точек $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ соответственно.
Ответ: Искомые точки — это концы диаметра, лежащего на прямой $y=x$. Одна точка находится в первой четверти и соответствует углу $\frac{\pi}{4}$, другая — в третьей четверти и соответствует углу $\frac{5\pi}{4}$.
б) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 2$.
На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=2$, то есть точку $T(1, 2)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 2)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(2)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(2) + \pi$.
Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 2)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.
в) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 3$.
На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=3$, то есть точку $T(1, 3)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 3)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(3)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(3) + \pi$.
Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 3)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.
г) Для уравнения $\text{tg } \alpha = 4$.
На оси тангенсов ($x=1$) отмечаем точку $T$ с ординатой $y=4$, то есть точку $T(1, 4)$. Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $T(1, 4)$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках: одна точка $P_1$ находится в первой четверти и соответствует углу $\alpha_1 = \text{arctan}(4)$, а вторая точка $P_2$ — в третьей четверти и соответствует углу $\alpha_2 = \text{arctan}(4) + \pi$.
Ответ: Искомые точки — это две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, полученные пересечением окружности с прямой, проходящей через начало координат и точку $(1, 4)$. Одна точка находится в первой четверти, другая — в третьей.
д) Для уравнения $\text{tg } \alpha =
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8.10 расположенного на странице 238 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.10 (с. 238), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.