Номер 8.10, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам α, для каждого из которых выполняется равенство (8.10–8.11):

а) $tg \alpha = 1$; б) $tg \alpha = 2$; в) $tg \alpha = 3$;

г) $tg \alpha = 4$; д) $tg \alpha = \frac{1}{2}$; е) $tg \alpha = \frac{1}{3}$.

Для того чтобы отметить точки на единичной окружности, соответствующие заданному значению тангенса, удобно использовать линию тангенсов. Это вертикальная прямая $x = 1$, касающаяся окружности в точке $(1; 0)$.

Алгоритм построения:

1. Проведите линию тангенсов (вертикаль $x = 1$).
2. Отложите на этой линии значение $k$, равное заданному тангенсу. Это будет точка $M(1; k)$.
3. Проведите прямую через начало координат $(0; 0)$ и точку $M$.
4. Точки пересечения этой прямой с единичной окружностью и будут искомыми углами $\alpha$. Таких точек всегда две (они отличаются на $\pi$ или $180^\circ$).

Разбор конкретных значений:

• а) $tg \alpha = 1$: Отмечаем на линии тангенсов точку с ординатой $1$. Прямая проходит через центр и под углом $45^\circ$. Точки на окружности: $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.
• б) $tg \alpha = 2$: Отмечаем точку $2$ на линии тангенсов. Угол будет круче (примерно $63^\circ$). Точки: $arctg(2)$ и $arctg(2) + \pi$.
• в) $tg \alpha = 3$: Точка $3$ на линии тангенсов. Угол еще ближе к вертикали (примерно $72^\circ$).
• г) $tg \alpha = 4$: Точка $4$ на линии тангенсов. Угол около $76^\circ$.
• д) $tg \alpha = \frac{1}{2}$: Отмечаем $0,5$ на линии тангенсов. Угол более пологий (примерно $26,5^\circ$).
• е) $tg \alpha = \frac{1}{3}$: Отмечаем $0,33$ на линии тангенсов. Угол примерно $18,4^\circ$.

Чем больше значение тангенса, тем ближе соответствующая точка на окружности (в первой четверти) к верхней точке $(0; 1)$, но она никогда её не достигнет, так как тангенс $90^\circ$ не определен.