Номер 8.1, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.1, страница 238.

8.1° Что называют: тангенсом угла $ \alpha $; котангенсом угла $ \alpha $?

тангенсом угла α

Тангенс угла $\alpha$ — это одна из основных тригонометрических функций. Его определение может быть дано двумя способами, в зависимости от контекста.

1. В геометрии (для острых углов). В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине прилежащего катета. Если обозначить противолежащий катет как $a$, а прилежащий как $b$, то:
$\text{tg} \, \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

2. В тригонометрии (общее определение). Для произвольного угла $\alpha$ тангенс определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу.
$\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Это определение справедливо для всех углов, у которых косинус не равен нулю, то есть при $\cos \alpha \neq 0$. Это соответствует углам $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ называют отношение синуса этого угла к его косинусу. В прямоугольном треугольнике для острого угла это отношение противолежащего катета к прилежащему.

котангенсом угла α

Котангенс угла $\alpha$ — это тригонометрическая функция, тесно связанная с тангенсом (является его обратной величиной).

1. В геометрии (для острых углов). В прямоугольном треугольнике котангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине противолежащего катета. Используя те же обозначения ($a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий):
$\text{ctg} \, \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

2. В тригонометрии (общее определение). Для произвольного угла $\alpha$ котангенс определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу.
$\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Это определение справедливо для всех углов, у которых синус не равен нулю, то есть при $\sin \alpha \neq 0$. Это соответствует углам $\alpha \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число. Из определения также следует, что $\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha}$.

Ответ: Котангенсом угла $\alpha$ называют отношение косинуса этого угла к его синусу. В прямоугольном треугольнике для острого угла это отношение прилежащего катета к противолежащему.