Номер 7.100, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.100, страница 233.

7.100 Выразите через арксинус положительного числа:

а) $\arcsin (-0.1);$

б) $\arcsin (-0.2);$

в) $\arcsin (-0.9);$

г) $\arcsin (3 - \pi);$

д) $\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right).$

а)

Для решения задачи используется свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ для любого $ x \in [-1, 1] $.

Применим это свойство к данному выражению:

$ \arcsin(-0,1) = -\arcsin(0,1) $.

В полученном выражении аргумент арксинуса $ 0,1 $ является положительным числом, что соответствует условию задачи.

Ответ: $ -\arcsin(0,1) $.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство нечетности функции арксинус $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-0,2) = -\arcsin(0,2) $.

Аргумент $ 0,2 $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin(0,2) $.

в)

Используем то же свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-0,9) = -\arcsin(0,9) $.

Аргумент $ 0,9 $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin(0,9) $.

г)

Сначала оценим значение выражения в скобках: $ 3 - \pi $.

Мы знаем, что $ \pi \approx 3,14159 $, поэтому $ 3 - \pi $ является отрицательным числом. Также значение $ 3 - \pi \approx -0,14159 $ находится в области определения арксинуса, то есть в интервале $ [-1, 1] $.

Преобразуем выражение в скобках, вынеся знак минус: $ 3 - \pi = -(\pi - 3) $.

Теперь воспользуемся свойством нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $:

$ \arcsin(3 - \pi) = \arcsin(-(\pi - 3)) = -\arcsin(\pi - 3) $.

Поскольку $ \pi > 3 $, выражение $ \pi - 3 $ является положительным.

Ответ: $ -\arcsin(\pi - 3) $.

д)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

Аргумент $ \frac{1}{3} $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.

е)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

Аргумент $ \frac{1}{4} $ — положительное число.

Ответ: $ -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.