Номер 7.94, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.7*. Примеры использования арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.94, страница 230.

7.94 Задайте с помощью неравенств все углы α, которым соответствуют выделенные точки единичной окружности (рис. 107, а–з). Определите, какой из этих рисунков соответствует неравенству:

1) $sin \\alpha > 0$;

2) $sin \\alpha < 0$;

3) $cos \\alpha > 0$;

4) $cos \\alpha < 0$;

5) $sin \\alpha < -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$;

6) $sin \\alpha > \\frac{1}{2}$;

7) $cos \\alpha < \\frac{1}{2}$;

8) $cos \\alpha > -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 107

а)

На рисунке а) выделена левая половина единичной окружности. Точкам этой дуги соответствуют отрицательные абсциссы, то есть $x < 0$. Поскольку для точек единичной окружности $x = \cos \alpha$, то искомое неравенство — $\cos \alpha < 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\cos \alpha < 0$.

б)

На рисунке б) выделена нижняя половина единичной окружности. Точкам этой дуги соответствуют отрицательные ординаты, то есть $y < 0$. Поскольку $y = \sin \alpha$, то искомое неравенство — $\sin \alpha < 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $\pi + 2\pi k < \alpha < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\sin \alpha < 0$.

в)

На рисунке в) выделена дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$, и идет против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $2\pi$ (или $0$). Этой дуге соответствуют все углы $\alpha$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, 2\pi)$. С учетом периодичности, решение можно записать в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эту область нельзя задать одним простым тригонометрическим неравенством вида $\sin\alpha > c$ или $\cos\alpha > c$. Она является объединением решений неравенств $\cos\alpha < 0$ (II и III четверти) и $\sin\alpha < 0$ (III и IV четверти).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

На рисунке г) выделена верхняя половина единичной окружности. Точкам этой дуги соответствуют положительные ординаты, то есть $y > 0$. Поскольку $y = \sin \alpha$, то искомое неравенство — $\sin \alpha > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $2\pi k < \alpha < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\sin \alpha > 0$.

д)

На рисунке д) выделена правая половина единичной окружности. Точкам этой дуги соответствуют положительные абсциссы, то есть $x > 0$. Поскольку $x = \cos \alpha$, то искомое неравенство — $\cos \alpha > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\cos \alpha > 0$.

е)

На рисунке е) выделены две дуги. Граничные точки соответствуют углам $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$. В этих точках $|\sin \alpha| = |\cos \alpha| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Выделенная верхняя дуга соответствует углам от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, где $\sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Выделенная нижняя дуга соответствует углам от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$, где $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Объединение этих двух условий можно записать одним неравенством $|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

ж)

На рисунке ж) также выделены две дуги, симметричные относительно оси абсцисс. Граничные точки те же, что и в предыдущем пункте. Выделенная правая дуга соответствует углам от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$, где $\cos \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Выделенная левая дуга соответствует углам от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$, где $\cos \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Объединение этих двух условий можно записать одним неравенством $|\cos \alpha| > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $|\cos \alpha| > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

з)

На рисунке з) выделена дуга, ограниченная вертикальной прямой. Это означает, что неравенство связано с $\cos \alpha$. Прямая проходит через точки с абсциссой $x = \frac{1}{2}$. Выделенная дуга находится правее этой прямой, что соответствует условию $\cos \alpha > \frac{1}{2}$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\cos \alpha > \frac{1}{2}$.

---

Теперь определим, какой из рисунков соответствует каждому неравенству.

1) $\sin \alpha > 0$

Неравенству соответствуют точки единичной окружности с положительной ординатой, то есть точки верхней полуплоскости. Это изображено на рисунке г).

Ответ: г).

2) $\sin \alpha < 0$

Неравенству соответствуют точки единичной окружности с отрицательной ординатой, то есть точки нижней полуплоскости. Это изображено на рисунке б).

Ответ: б).

3) $\cos \alpha > 0$

Неравенству соответствуют точки единичной окружности с положительной абсциссой, то есть точки правой полуплоскости. Это изображено на рисунке д).

Ответ: д).

4) $\cos \alpha < 0$

Неравенству соответствуют точки единичной окружности с отрицательной абсциссой, то есть точки левой полуплоскости. Это изображено на рисунке а).

Ответ: а).

5) $\sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует большой дуге, идущей от точки $\frac{3\pi}{4}$ против часовой стрелки к точке $\frac{\pi}{4}$. Ни один из представленных рисунков точно не соответствует этому решению.

Ответ: нет соответствующего рисунка.

6) $\sin \alpha > \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются углы $\alpha$ из интервала $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$. Это дуга в верхней полуплоскости, но она не совпадает ни с одной из изображенных на рисунках е), ж), з).

Ответ: нет соответствующего рисунка.

7) $\cos \alpha < \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются углы $\alpha$ из интервала $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$. Этому решению соответствует дуга, которая является дополнением к дуге, изображенной на рисунке з). На рисунке з) показано решение неравенства $\cos \alpha > \frac{1}{2}$.

Ответ: нет соответствующего рисунка (рисунок з) изображает противоположное неравенство).

8) $\cos \alpha > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого неравенства являются углы $\alpha$ из интервала $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$. Это большая дуга, охватывающая правую часть окружности. Ни один из представленных рисунков точно не соответствует этому решению.

Ответ: нет соответствующего рисунка.