Номер 7.90, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.6. Арккосинус - номер 7.90, страница 224.

Условие.

7.90 С помощью арккосинуса выразите углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. 100, а—в).

а) б) в) Рис. 100

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся определением косинуса и арккосинуса на единичной окружности. Координата точки на единичной окружности по оси абсцисс (x) равна косинусу угла, соответствующего этой точке. Арккосинус числа $x$ ($\arccos(x)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

Нам необходимо найти углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что соответствует правой половине единичной окружности (первая и четвертая координатные четверти).

а)

На рисунке 100а отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые имеют одинаковую абсциссу, равную $\frac{1}{2}$. Это означает, что $\cos(\alpha_1) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{1}{2}$.

Точка, соответствующая углу $\alpha_1$, находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, по определению является $\arccos(\frac{1}{2})$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$.

Точка, соответствующая углу $\alpha_2$, находится в четвертой четверти и симметрична точке $\alpha_1$ относительно оси Ox. Это значит, что $\alpha_2 = -\alpha_1$. Угол $-\arccos(\frac{1}{2})$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ и, соответственно, входит в заданный промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.

б)

На рисунке 100б отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\alpha_1$ находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол удовлетворяет условию принадлежности промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Угол $\alpha_2$ находится в четвертой четверти и симметричен углу $\alpha_1$ относительно оси абсцисс, поэтому $\alpha_2 = -\alpha_1$.

Значит, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол также принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в)

На рисунке 100в отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой, равной $a$. Из рисунка видно, что $0 < a < 1$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = a$ и $\cos(\alpha_2) = a$.

Точка $\alpha_1$ расположена в первой четверти. Угол, косинус которого равен $a$, по определению равен $\arccos(a)$. Так как $0 < a < 1$, то $0 < \arccos(a) < \frac{\pi}{2}$, что входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(a)$.

Точка $\alpha_2$ расположена в четвертой четверти и симметрична $\alpha_1$ относительно оси Ox, что означает $\alpha_2 = -\alpha_1$.

Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(a)$. Этот угол также входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(a)$, $\alpha_2 = -\arccos(a)$.