Номер 7.90, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.90, страница 224.
№7.90 (с. 224)
Условие. №7.90 (с. 224)
скриншот условия

7.90 С помощью арккосинуса выразите углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. 100, а—в).
а) б) в) Рис. 100Решение 1. №7.90 (с. 224)



Решение 2. №7.90 (с. 224)

Решение 3. №7.90 (с. 224)

Решение 4. №7.90 (с. 224)

Решение 5. №7.90 (с. 224)
Для решения задачи воспользуемся определением косинуса и арккосинуса на единичной окружности. Координата точки на единичной окружности по оси абсцисс (x) равна косинусу угла, соответствующего этой точке. Арккосинус числа $x$ ($\arccos(x)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.
Нам необходимо найти углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что соответствует правой половине единичной окружности (первая и четвертая координатные четверти).
а)
На рисунке 100а отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые имеют одинаковую абсциссу, равную $\frac{1}{2}$. Это означает, что $\cos(\alpha_1) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{1}{2}$.
Точка, соответствующая углу $\alpha_1$, находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, по определению является $\arccos(\frac{1}{2})$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$.
Точка, соответствующая углу $\alpha_2$, находится в четвертой четверти и симметрична точке $\alpha_1$ относительно оси Ox. Это значит, что $\alpha_2 = -\alpha_1$. Угол $-\arccos(\frac{1}{2})$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ и, соответственно, входит в заданный промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.
Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.
б)
На рисунке 100б отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\alpha_1$ находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол удовлетворяет условию принадлежности промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Угол $\alpha_2$ находится в четвертой четверти и симметричен углу $\alpha_1$ относительно оси абсцисс, поэтому $\alpha_2 = -\alpha_1$.
Значит, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол также принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
в)
На рисунке 100в отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой, равной $a$. Из рисунка видно, что $0 < a < 1$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = a$ и $\cos(\alpha_2) = a$.
Точка $\alpha_1$ расположена в первой четверти. Угол, косинус которого равен $a$, по определению равен $\arccos(a)$. Так как $0 < a < 1$, то $0 < \arccos(a) < \frac{\pi}{2}$, что входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(a)$.
Точка $\alpha_2$ расположена в четвертой четверти и симметрична $\alpha_1$ относительно оси Ox, что означает $\alpha_2 = -\alpha_1$.
Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(a)$. Этот угол также входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $\alpha_1 = \arccos(a)$, $\alpha_2 = -\arccos(a)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.90 расположенного на странице 224 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.90 (с. 224), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.