Номер 7.89, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.89, страница 224.

7.89 Сравните с числом $0,5\pi$:

a) $\arccos \frac{1}{4}$;

б) $\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)$;

в) $\arccos \frac{1}{7}$;

г) $\arccos \left(-\frac{1}{7}\right)$;

д) $\arccos 1$;

е) $\arccos (-1)$.

Для решения этой задачи необходимо сравнить значения различных выражений с функцией арккосинус с числом $0.5\pi$, которое также можно записать как $\frac{\pi}{2}$.

Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является то, что функция $y = \arccos(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

Также мы знаем, что $\arccos(0) = \frac{\pi}{2} = 0.5\pi$.

Таким образом, сравнение $\arccos(x)$ с $0.5\pi$ эквивалентно сравнению $\arccos(x)$ с $\arccos(0)$.

---

а) Сравнить $\arccos\frac{1}{4}$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\frac{1}{4}$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $\frac{1}{4} > 0$.

Поскольку функция арккосинус является убывающей, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный:

$\arccos\frac{1}{4} < \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\frac{1}{4} < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\frac{1}{4} < 0.5\pi$.

б) Сравнить $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $-\frac{1}{4} < 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > 0.5\pi$.

в) Сравнить $\arccos\frac{1}{7}$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\frac{1}{7}$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $\frac{1}{7} > 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\frac{1}{7} < \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\frac{1}{7} < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\frac{1}{7} < 0.5\pi$.

г) Сравнить $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $-\frac{1}{7} < 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > 0.5\pi$.

д) Сравнить $\arccos(1)$ с $0.5\pi$.

По определению функции арккосинус, $\arccos(1) = 0$.

Сравниваем $0$ и $0.5\pi$.

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0.5\pi > 0$.

Следовательно, $\arccos(1) < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos(1) < 0.5\pi$.

е) Сравнить $\arccos(-1)$ с $0.5\pi$.

По определению функции арккосинус, $\arccos(-1) = \pi$.

Сравниваем $\pi$ и $0.5\pi$.

Так как $1 > 0.5$, то $\pi > 0.5\pi$.

Следовательно, $\arccos(-1) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos(-1) > 0.5\pi$.