Номер 7.82, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.5. Арксинус - номер 7.82, страница 220.

Условие.

7.82 Постройте углы:

а) $arcsin\frac{1}{3}, \pi - arcsin\frac{1}{3};$

б) $arcsin\left(-\frac{2}{3}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{2}{3}\right);$

в) $arcsin\frac{1}{4}, \pi - arcsin\frac{1}{4};$

г) $arcsin\frac{4}{5}, \pi - arcsin\frac{4}{5};$

д) $arcsin\left(-\frac{1}{3}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $arcsin\left(-\frac{3}{5}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{3}{5}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для построения заданных углов мы будем использовать единичную (тригонометрическую) окружность. Общий алгоритм заключается в следующем:

1. Начертить систему координат $xOy$ и единичную окружность с центром в начале координат.
2. Для угла вида $\arcsin(a)$, отметить на оси ординат $Oy$ точку со значением $y=a$.
3. Провести через эту точку горизонтальную прямую.
4. Точка пересечения этой прямой с правой полуокружностью (I и IV квадранты) соответствует углу $\arcsin(a)$, так как область значений арксинуса – $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
5. Точка пересечения этой прямой с левой полуокружностью (II и III квадранты) соответствует углу $\pi - \arcsin(a)$, так как $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.

а) Построение углов $\arcsin \frac{1}{3}$ и $\pi - \arcsin \frac{1}{3}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{1}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: $P_1$ в первой четверти и $P_2$ во второй четверти.
4. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_1$, является углом $\alpha_1 = \arcsin \frac{1}{3}$. Этот угол острый.
5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_2$, является углом $\alpha_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3}$. Этот угол тупой.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{1}{3}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{1}{3}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{1}{3}$ — это тупой угол во II четверти, синус которого также равен $\frac{1}{3}$.

б) Построение углов $\arcsin (-\frac{2}{3})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{2}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{2}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: $P_1$ в четвертой четверти и $P_2$ в третьей четверти.
4. Угол $\alpha_1 = \arcsin (-\frac{2}{3})$ по определению лежит в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому он соответствует точке $P_1$. Это отрицательный угол в IV четверти.
5. Угол $\alpha_2 = \pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$ соответствует точке $P_2$. Так как $\arcsin(-\frac{2}{3}) = -\arcsin(\frac{2}{3})$, то $\alpha_2 = \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$. Этот угол находится в III четверти.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{2}{3})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{2}{3}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$ — это угол в III четверти, синус которого также равен $-\frac{2}{3}$.

в) Построение углов $\arcsin \frac{1}{4}$ и $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{1}{4}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{4}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (I четверть) и $P_2$ (II четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin \frac{1}{4}$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{1}{4}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{1}{4}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$ — это тупой угол во II четверти с тем же синусом.

г) Построение углов $\arcsin \frac{4}{5}$ и $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{4}{5}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{4}{5}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (I четверть) и $P_2$ (II четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin \frac{4}{5}$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{4}{5}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{4}{5}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$ — это тупой угол во II четверти с тем же синусом.

д) Построение углов $\arcsin (-\frac{1}{3})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{1}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (IV четверть) и $P_2$ (III четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin (-\frac{1}{3})$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3}) = \pi + \arcsin(\frac{1}{3})$.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{1}{3})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{1}{3}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3})$ — это угол в III четверти с тем же синусом.

е) Построение углов $\arcsin (-\frac{3}{5})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{3}{5}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{3}{5}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (IV четверть) и $P_2$ (III четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin (-\frac{3}{5})$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5}) = \pi + \arcsin(\frac{3}{5})$.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{3}{5})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{3}{5}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5})$ — это угол в III четверти с тем же синусом.