Страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.80 Сравните с нулём:

a) $ \arcsin \frac{1}{3}; $

б) $ \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right); $

в) $ \arcsin 0,2; $

г) $ \arcsin 0,9; $

д) $ \arcsin (-0,2); $

е) $ \arcsin (-0,9). $

Для сравнения значений арксинуса с нулём воспользуемся определением и свойствами функции $y = \arcsin x$.

По определению, арксинус числа $x$ — это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Это можно записать в виде системы:

Из определения следует, что знак значения функции $\arcsin x$ совпадает со знаком её аргумента $x$:

• Если $x > 0$, то $y = \arcsin x$ принадлежит интервалу $(0, \frac{\pi}{2}]$, и, следовательно, $\arcsin x > 0$.
• Если $x < 0$, то $y = \arcsin x$ принадлежит интервалу $[-\frac{\pi}{2}, 0)$, и, следовательно, $\arcsin x < 0$.
• Если $x = 0$, то $\arcsin 0 = 0$.

Таким образом, чтобы сравнить значение арксинуса с нулём, достаточно определить знак его аргумента.

а) В выражении $\arcsin\frac{1}{3}$ аргумент $x = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3} > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin\frac{1}{3} > 0$.

б) В выражении $\arcsin(-\frac{1}{3})$ аргумент $x = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-\frac{1}{3} < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-\frac{1}{3}) < 0$.

в) В выражении $\arcsin 0,2$ аргумент $x = 0,2$. Поскольку $0,2 > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin 0,2 > 0$.

г) В выражении $\arcsin 0,9$ аргумент $x = 0,9$. Поскольку $0,9 > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin 0,9 > 0$.

д) В выражении $\arcsin(-0,2)$ аргумент $x = -0,2$. Поскольку $-0,2 < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-0,2) < 0$.

е) В выражении $\arcsin(-0,9)$ аргумент $x = -0,9$. Поскольку $-0,9 < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-0,9) < 0$.

7.81 С помощью арксинуса выразите все углы из промежутка $[0; \pi]$, соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. 95, а–в).

а) $\frac{1}{2}$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $a$

Рис. 95

а)

На единичной окружности, показанной на рисунке 95а, точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату (координату $y$), равную $ \frac{1}{2} $. На единичной окружности ордината точки равна синусу угла, который эта точка образует с положительным направлением оси $x$. Следовательно, мы имеем уравнения: $ \sin(\alpha_1) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{1}{2} $.

Мы ищем углы в промежутке $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha_1 < \frac{\pi}{2} $). По определению, $ \arcsin(b) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $b$. Поскольку $ \alpha_1 $ попадает в этот промежуток, мы можем записать: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi $). Для углов, расположенных симметрично относительно оси $y$, синусы равны. Связь между такими углами выражается формулой $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 $. Подставляя выражение для $ \alpha_1 $, получаем: $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $.

б)

На рисунке 95б точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату, равную $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, для обоих углов выполняется: $ \sin(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Углы принадлежат промежутку $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти. Его значение, выраженное через арксинус, равно: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти и симметричен $ \alpha_1 $ относительно оси $y$. Следовательно, он вычисляется по формуле $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 $: $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

в)

На рисунке 95в точки, соответствующие углам $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, имеют одинаковую ординату, равную $a$. Из рисунка видно, что $ 0 < a < 1 $. Таким образом, мы имеем: $ \sin(\alpha_1) = a $ и $ \sin(\alpha_2) = a $.

Углы принадлежат промежутку $ [0; \pi] $.

Угол $ \alpha_1 $ находится в первой четверти. Его значение, выраженное через арксинус, равно: $ \alpha_1 = \arcsin(a) $.

Угол $ \alpha_2 $ находится во второй четверти и симметричен $ \alpha_1 $ относительно оси $y$. Следовательно, он равен: $ \alpha_2 = \pi - \alpha_1 = \pi - \arcsin(a) $.

Ответ: $ \alpha_1 = \arcsin(a) $, $ \alpha_2 = \pi - \arcsin(a) $.

7.82 Постройте углы:

а) $arcsin\frac{1}{3}, \pi - arcsin\frac{1}{3};$

б) $arcsin\left(-\frac{2}{3}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{2}{3}\right);$

в) $arcsin\frac{1}{4}, \pi - arcsin\frac{1}{4};$

г) $arcsin\frac{4}{5}, \pi - arcsin\frac{4}{5};$

д) $arcsin\left(-\frac{1}{3}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{1}{3}\right);$

е) $arcsin\left(-\frac{3}{5}\right), \pi - arcsin\left(-\frac{3}{5}\right).$

Для построения заданных углов мы будем использовать единичную (тригонометрическую) окружность. Общий алгоритм заключается в следующем:

1. Начертить систему координат $xOy$ и единичную окружность с центром в начале координат.
2. Для угла вида $\arcsin(a)$, отметить на оси ординат $Oy$ точку со значением $y=a$.
3. Провести через эту точку горизонтальную прямую.
4. Точка пересечения этой прямой с правой полуокружностью (I и IV квадранты) соответствует углу $\arcsin(a)$, так как область значений арксинуса – $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
5. Точка пересечения этой прямой с левой полуокружностью (II и III квадранты) соответствует углу $\pi - \arcsin(a)$, так как $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.

а) Построение углов $\arcsin \frac{1}{3}$ и $\pi - \arcsin \frac{1}{3}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{1}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: $P_1$ в первой четверти и $P_2$ во второй четверти.
4. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_1$, является углом $\alpha_1 = \arcsin \frac{1}{3}$. Этот угол острый.
5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP_2$, является углом $\alpha_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3}$. Этот угол тупой.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{1}{3}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{1}{3}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{1}{3}$ — это тупой угол во II четверти, синус которого также равен $\frac{1}{3}$.

б) Построение углов $\arcsin (-\frac{2}{3})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{2}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{2}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: $P_1$ в четвертой четверти и $P_2$ в третьей четверти.
4. Угол $\alpha_1 = \arcsin (-\frac{2}{3})$ по определению лежит в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому он соответствует точке $P_1$. Это отрицательный угол в IV четверти.
5. Угол $\alpha_2 = \pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$ соответствует точке $P_2$. Так как $\arcsin(-\frac{2}{3}) = -\arcsin(\frac{2}{3})$, то $\alpha_2 = \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$. Этот угол находится в III четверти.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{2}{3})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{2}{3}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{2}{3})$ — это угол в III четверти, синус которого также равен $-\frac{2}{3}$.

в) Построение углов $\arcsin \frac{1}{4}$ и $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{1}{4}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{4}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (I четверть) и $P_2$ (II четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin \frac{1}{4}$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{1}{4}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{1}{4}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{1}{4}$ — это тупой угол во II четверти с тем же синусом.

г) Построение углов $\arcsin \frac{4}{5}$ и $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = \frac{4}{5}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{4}{5}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (I четверть) и $P_2$ (II четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin \frac{4}{5}$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$.

Ответ: Угол $\arcsin \frac{4}{5}$ — это острый угол в I четверти, синус которого равен $\frac{4}{5}$. Угол $\pi - \arcsin \frac{4}{5}$ — это тупой угол во II четверти с тем же синусом.

д) Построение углов $\arcsin (-\frac{1}{3})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{1}{3}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{3}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (IV четверть) и $P_2$ (III четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin (-\frac{1}{3})$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3}) = \pi + \arcsin(\frac{1}{3})$.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{1}{3})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{1}{3}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{1}{3})$ — это угол в III четверти с тем же синусом.

е) Построение углов $\arcsin (-\frac{3}{5})$ и $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5})$

1. На оси $Oy$ единичной окружности отметим точку с координатой $y = -\frac{3}{5}$.
2. Проведем горизонтальную прямую $y = -\frac{3}{5}$.
3. Эта прямая пересекает окружность в точках $P_1$ (IV четверть) и $P_2$ (III четверть).
4. Угол, соответствующий точке $P_1$, равен $\arcsin (-\frac{3}{5})$.
5. Угол, соответствующий точке $P_2$, равен $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5}) = \pi + \arcsin(\frac{3}{5})$.

Ответ: Угол $\arcsin (-\frac{3}{5})$ — это угол в IV четверти, синус которого равен $-\frac{3}{5}$. Угол $\pi - \arcsin (-\frac{3}{5})$ — это угол в III четверти с тем же синусом.

7.83 Задайте формулами все углы α, для каждого из которых:

а) $ \sin \alpha = 1; $

б) $ \sin \alpha = -1; $

в) $ \sin \alpha = 0; $

г) $ \sin \alpha = \frac{1}{2}; $

д) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

е) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

ж) $ \sin \alpha = -\frac{1}{2}; $

з) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

и) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

к) $ \sin \alpha = \frac{5}{6}; $

л) $ \sin \alpha = -\frac{2}{3}; $

м) $ \sin \alpha = \frac{1}{6}. $

а) Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $ \frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, то все решения можно записать формулой, добавляя к частному решению $ 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Это частный случай. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $ -\frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции синуса ($ 2\pi $), общее решение имеет вид.
Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) Это частный случай. Синус равен нулю в точках, где единичная окружность пересекает ось абсцисс, то есть в точках $ 0 $ и $ \pi $. Эти точки повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $), поэтому все решения можно объединить в одну формулу.
Ответ: $ \alpha = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Общее решение уравнения $ \sin\alpha = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, подставляем это значение в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д) Используем общую формулу для решения уравнений вида $ \sin\alpha = a $. Для $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем табличное значение $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

е) Используем общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

ж) Решение находим по общей формуле $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = -\frac{1}{2} $ используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $. Подставляя в формулу, получаем $ \alpha = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

з) Для $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $. Подставляем это значение в общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

и) Для $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, значение арксинуса равно $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

к) Так как $ \frac{5}{6} $ не является стандартным табличным значением для синуса, решение записывается в общем виде через арксинус, используя формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

л) Для $ a = -\frac{2}{3} $ решение записывается через арксинус. Используя свойство $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

м) Значение $ \frac{1}{6} $ не является табличным, поэтому решение записывается в общем виде через арксинус.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.