Страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.75 Назовите угол из промежутка $[-½\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен:

а) 1;

б) -1;

в) 0;

г) $ \frac{1}{2} $;

д) $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

е) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

а) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Это равносильно решению уравнения $\sin(\alpha) = 1$ на указанном промежутке. По определению, такой угол является арксинусом числа 1: $\alpha = \arcsin(1)$. Единственным углом в этом промежутке, удовлетворяющим условию, является $\frac{\pi}{2}$. Данный угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = -1$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(-1)$. Учитывая, что арксинус является нечетной функцией ($\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$), получаем $\alpha = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Угол $-\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

в) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = 0$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(0)$. Единственный угол на заданном промежутке, синус которого равен нулю, — это 0. Угол $0$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $0$.

г) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2})$. Это известное табличное значение: $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

д) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Используя свойство нечетности арксинуса, имеем $\alpha = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

е) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это известное табличное значение: $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

7.76° Что называют арксинусом числа $a$? Для каких чисел $a$ существует $\arcsin a$, для каких нет?

Что называют арксинусом числа a? Арксинусом числа $a$ называют такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Это определение можно записать в виде равносильности при условии, что $|a| \le 1$:
$\arcsin a = \alpha \iff \sin \alpha = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Ограничение на значения $\alpha$ (принадлежность отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$) вводится для того, чтобы функция арксинус была однозначной, так как существует бесконечно много углов, синус которых равен $a$.

Ответ: Арксинусом числа $a$, модуль которого не превышает единицы ($|a| \le 1$), называется такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin \alpha = a$.

Для каких чисел a существует arcsin a, для каких нет? Функция арксинус ($y = \arcsin a$) является обратной к функции синус ($y = \sin x$). Областью значений функции синус является отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого угла $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Поскольку арксинус является обратной функцией, его область определения совпадает с областью значений функции синус. Таким образом, выражение $\arcsin a$ имеет смысл (определено или существует) только для тех значений $a$, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
Если число $a$ по модулю больше единицы, то есть $a > 1$ или $a < -1$, то не существует такого угла, синус которого был бы равен $a$. Следовательно, для таких чисел $a$ арксинус не существует.

Ответ: Выражение $\arcsin a$ существует для всех чисел $a$, удовлетворяющих неравенству $-1 \le a \le 1$ (или $a \in [-1, 1]$). Для чисел $a$, таких что $a > 1$ или $a < -1$ (или $|a| > 1$), $\arcsin a$ не существует.

7.77 Имеет ли смысл запись:

а) arcsin $\frac{\pi}{2}$;

б) arcsin $\frac{\pi}{3}$;

в) arcsin $\frac{\pi}{4}$;

г) arcsin $\pi$;

д) arcsin $\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

е) arcsin $\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

ж) arcsin $\left(-\frac{3}{4}\right)$;

з) arcsin $\frac{\sqrt{5}}{2}$;

и) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right)$?

Для того чтобы запись $\arcsin(x)$ имела смысл, необходимо, чтобы ее аргумент $x$ принадлежал области определения функции арксинус. Областью определения функции $y = \arcsin(x)$ является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для каждого случая мы должны проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le x \le 1$.

а) $\arcsin\frac{\pi}{2}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$. Поскольку $1.57 > 1$, значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

б) $\arcsin\frac{\pi}{3}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.047$. Поскольку $1.047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin\frac{\pi}{4}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{4}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$. Поскольку $-1 \le 0.785 \le 1$, значение $\frac{\pi}{4}$ входит в область определения арксинуса.

Ответ: имеет смысл.

г) $\arcsin\pi$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\pi$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\pi \approx 3.14 > 1$, значение $\pi$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

д) $\arcsin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$, то $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57 < -1$. Значит, значение $-\frac{\pi}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

е) $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $\frac{\pi}{3} \approx 1.047 > 1$, то $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047 < -1$. Значит, значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

ж) $\arcsin\left(-\frac{3}{4}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{3}{4}$ отрезку $[-1, 1]$. Значение $-\frac{3}{4} = -0.75$. Поскольку $-1 \le -0.75 \le 1$, значение $-\frac{3}{4}$ входит в область определения арксинуса.

Ответ: имеет смысл.

з) $\arcsin\frac{\sqrt{5}}{2}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\sqrt{5}}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Сравним $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с $1$. Это равносильно сравнению $\sqrt{5}$ с $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{2}{2} = 1$. Значит, значение $\frac{\sqrt{5}}{2}$ не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

и) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\frac{\sqrt{17}}{2}$ отрезку $[-1, 1]$. Сравним $-\frac{\sqrt{17}}{2}$ с $-1$. Это равносильно сравнению $\frac{\sqrt{17}}{2}$ с $1$ (знак неравенства изменится на противоположный). Сравним $\sqrt{17}$ с $2$. Так как $17 > 4$, то $\sqrt{17} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $\frac{\sqrt{17}}{2} > \frac{2}{2} = 1$, а это означает, что $-\frac{\sqrt{17}}{2} < -1$. Таким образом, значение не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

Вычислите (7.78–7.79):

7.78 a) $ \sin \left( \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) \right); $

б) $ \sin \left( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \right); $

в) $ \sin \left( \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \right); $

г) $ \sin \left( \arcsin \left( -\frac{1}{3} \right) \right); $

д) $ \sin \left( \arcsin \left( 0,3 \right) \right); $

е) $ \sin \left( \arcsin \left( -0,3 \right) \right). $

Для решения всех пунктов этого задания используется основное свойство функции арксинус. По определению, арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Из этого определения напрямую следует тождество: $\sin(\arcsin a) = a$.

Это тождество справедливо для любого числа $a$, которое находится в области определения арксинуса, то есть при $a \in [-1; 1]$. Во всех представленных примерах аргумент арксинуса удовлетворяет этому условию, поэтому мы можем напрямую применить данное тождество для вычислений.

а) В выражении $\sin(\arcsin \frac{1}{2})$ имеем $a = \frac{1}{2}$. Так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Следовательно: $\sin(\arcsin \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) В выражении $\sin(\arcsin (-\frac{1}{2}))$ имеем $a = -\frac{1}{2}$. Так как $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Следовательно: $\sin(\arcsin (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) В выражении $\sin(\arcsin \frac{1}{3})$ имеем $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Таким образом: $\sin(\arcsin \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) В выражении $\sin(\arcsin (-\frac{1}{3}))$ имеем $a = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Таким образом: $\sin(\arcsin (-\frac{1}{3})) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) В выражении $\sin(\arcsin 0,3)$ имеем $a = 0,3$. Так как $|0,3| = 0,3 \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Отсюда: $\sin(\arcsin 0,3) = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

е) В выражении $\sin(\arcsin (-0,3))$ имеем $a = -0,3$. Так как $|-0,3| = 0,3 \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Отсюда: $\sin(\arcsin (-0,3)) = -0,3$.
Ответ: $-0,3$.

7.79 а) $\arcsin 1$;

б) $\arcsin (-1)$;

в) $\arcsin 0$;

г) $\arcsin \frac{1}{2}$;

д) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

з) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

и) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а) По определению, арксинус числа $a$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого выполняется равенство $\sin \alpha = a$. Чтобы найти $\arcsin 1$, мы ищем угол $\alpha$, такой что $\sin \alpha = 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = -1$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Также можно воспользоваться свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Следовательно, $\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

в) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = 0$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = 0$.

Ответ: $0$

г) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Это табличное значение для синуса. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

д) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

е) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

ж) Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$. Из пункта г) мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

з) Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Из пункта д) мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

и) Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Из пункта е) мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$