Страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.93 Задайте формулами все углы $ \alpha $, для каждого из которых:

а) $ \cos \alpha = 1; $

б) $ \cos \alpha = -1; $

в) $ \cos \alpha = 0; $

г) $ \cos \alpha = \frac{1}{2}; $

д) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

е) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

ж) $ \cos \alpha = -\frac{1}{2}; $

з) $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

и) $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

к) $ \cos \alpha = \frac{3}{4}; $

л) $ \cos \alpha = -\frac{2}{3}; $

м) $ \cos \alpha = \frac{1}{6}. $

а) Это частный случай решения уравнения $\cos \alpha = a$. Косинус равен единице, когда угол равен $0$ радиан плюс полный оборот, то есть $2\pi$ умноженное на любое целое число. Формально, используя общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $a=1$ и $\arccos(1) = 0$, получаем $\alpha = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Это частный случай. Косинус равен минус единице, когда угол равен $\pi$ радиан плюс полный оборот. Используя общую формулу с $a=-1$ и $\arccos(-1) = \pi$, получаем $\alpha = \pm \pi + 2\pi n$. Эту запись обычно упрощают до $\alpha = \pi + 2\pi n$, так как серия углов $-\pi + 2\pi n$ совпадает с серией $\pi + 2\pi(n-1)$, что является тем же множеством углов, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Это частный случай. Косинус равен нулю при углах $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$, а также при всех углах, отличающихся от них на целое число полных оборотов. Используя общую формулу с $a=0$ и $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, получаем $\alpha = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную формулу.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$. Здесь $a = \frac{1}{2}$. Табличное значение арккосинуса для этого числа: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Подставляя это значение в формулу, получаем решение.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$ при $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Подставляем это значение в формулу.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$ при $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Подставляем это значение в формулу.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$ при $a = -\frac{1}{2}$. Значение $\arccos(-\frac{1}{2})$ находим по формуле $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Таким образом, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$ при $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Находим $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$ при $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Находим $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $\alpha = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$. Так как значение $a = \frac{3}{4}$ не является табличным для косинуса, но удовлетворяет условию $|a| \le 1$, решение записывается с использованием функции арккосинус.
Ответ: $\alpha = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$. Значение $a = -\frac{2}{3}$ не является табличным. Так как $|a| \le 1$, решение существует и записывается через арккосинус.
Ответ: $\alpha = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Используем общую формулу $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi n$. Значение $a = \frac{1}{6}$ не является табличным. Так как $|a| \le 1$, решение существует и записывается через арккосинус.
Ответ: $\alpha = \pm \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.