Номер 7.83, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.83, страница 220.
№7.83 (с. 220)
Условие. №7.83 (с. 220)
скриншот условия

7.83 Задайте формулами все углы α, для каждого из которых:
а) $ \sin \alpha = 1; $
б) $ \sin \alpha = -1; $
в) $ \sin \alpha = 0; $
г) $ \sin \alpha = \frac{1}{2}; $
д) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}; $
е) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; $
ж) $ \sin \alpha = -\frac{1}{2}; $
з) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $
и) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $
к) $ \sin \alpha = \frac{5}{6}; $
л) $ \sin \alpha = -\frac{2}{3}; $
м) $ \sin \alpha = \frac{1}{6}. $
Решение 1. №7.83 (с. 220)












Решение 2. №7.83 (с. 220)

Решение 3. №7.83 (с. 220)

Решение 4. №7.83 (с. 220)

Решение 5. №7.83 (с. 220)
а) Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $ \frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, то все решения можно записать формулой, добавляя к частному решению $ 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
б) Это частный случай. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $ -\frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции синуса ($ 2\pi $), общее решение имеет вид.
Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
в) Это частный случай. Синус равен нулю в точках, где единичная окружность пересекает ось абсцисс, то есть в точках $ 0 $ и $ \pi $. Эти точки повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $), поэтому все решения можно объединить в одну формулу.
Ответ: $ \alpha = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
г) Общее решение уравнения $ \sin\alpha = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, подставляем это значение в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
д) Используем общую формулу для решения уравнений вида $ \sin\alpha = a $. Для $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем табличное значение $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
е) Используем общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
ж) Решение находим по общей формуле $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = -\frac{1}{2} $ используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $. Подставляя в формулу, получаем $ \alpha = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
з) Для $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $. Подставляем это значение в общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
и) Для $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, значение арксинуса равно $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
к) Так как $ \frac{5}{6} $ не является стандартным табличным значением для синуса, решение записывается в общем виде через арксинус, используя формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
л) Для $ a = -\frac{2}{3} $ решение записывается через арксинус. Используя свойство $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
м) Значение $ \frac{1}{6} $ не является табличным, поэтому решение записывается в общем виде через арксинус.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.83 расположенного на странице 220 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.83 (с. 220), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.