Номер 7.83, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.5. Арксинус - номер 7.83, страница 220.

Условие.

7.83 Задайте формулами все углы α, для каждого из которых:

а) $ \sin \alpha = 1; $

б) $ \sin \alpha = -1; $

в) $ \sin \alpha = 0; $

г) $ \sin \alpha = \frac{1}{2}; $

д) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

е) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

ж) $ \sin \alpha = -\frac{1}{2}; $

з) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

и) $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

к) $ \sin \alpha = \frac{5}{6}; $

л) $ \sin \alpha = -\frac{2}{3}; $

м) $ \sin \alpha = \frac{1}{6}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $ \frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, то все решения можно записать формулой, добавляя к частному решению $ 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Это частный случай. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $ -\frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции синуса ($ 2\pi $), общее решение имеет вид.
Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) Это частный случай. Синус равен нулю в точках, где единичная окружность пересекает ось абсцисс, то есть в точках $ 0 $ и $ \pi $. Эти точки повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $), поэтому все решения можно объединить в одну формулу.
Ответ: $ \alpha = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Общее решение уравнения $ \sin\alpha = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, подставляем это значение в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д) Используем общую формулу для решения уравнений вида $ \sin\alpha = a $. Для $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем табличное значение $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

е) Используем общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

ж) Решение находим по общей формуле $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для $ a = -\frac{1}{2} $ используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $. Подставляя в формулу, получаем $ \alpha = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

з) Для $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеем $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $. Подставляем это значение в общую формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

и) Для $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, значение арксинуса равно $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

к) Так как $ \frac{5}{6} $ не является стандартным табличным значением для синуса, решение записывается в общем виде через арксинус, используя формулу $ \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

л) Для $ a = -\frac{2}{3} $ решение записывается через арксинус. Используя свойство $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) $. Подставляем в общую формулу.
Ответ: $ \alpha = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

м) Значение $ \frac{1}{6} $ не является табличным, поэтому решение записывается в общем виде через арксинус.
Ответ: $ \alpha = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.