Номер 7.80, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.80, страница 220.

7.80 Сравните с нулём:

a) $ \arcsin \frac{1}{3}; $

б) $ \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right); $

в) $ \arcsin 0,2; $

г) $ \arcsin 0,9; $

д) $ \arcsin (-0,2); $

е) $ \arcsin (-0,9). $

Для сравнения значений арксинуса с нулём воспользуемся определением и свойствами функции $y = \arcsin x$.

По определению, арксинус числа $x$ — это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Это можно записать в виде системы:

$$ \begin{cases} \sin y = x \\ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $$

Из определения следует, что знак значения функции $\arcsin x$ совпадает со знаком её аргумента $x$:

• Если $x > 0$, то $y = \arcsin x$ принадлежит интервалу $(0, \frac{\pi}{2}]$, и, следовательно, $\arcsin x > 0$.
• Если $x < 0$, то $y = \arcsin x$ принадлежит интервалу $[-\frac{\pi}{2}, 0)$, и, следовательно, $\arcsin x < 0$.
• Если $x = 0$, то $\arcsin 0 = 0$.

Таким образом, чтобы сравнить значение арксинуса с нулём, достаточно определить знак его аргумента.

а) В выражении $\arcsin\frac{1}{3}$ аргумент $x = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3} > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin\frac{1}{3} > 0$.

б) В выражении $\arcsin(-\frac{1}{3})$ аргумент $x = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-\frac{1}{3} < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-\frac{1}{3}) < 0$.

в) В выражении $\arcsin 0,2$ аргумент $x = 0,2$. Поскольку $0,2 > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin 0,2 > 0$.

г) В выражении $\arcsin 0,9$ аргумент $x = 0,9$. Поскольку $0,9 > 0$, значение арксинуса положительно.
Ответ: $\arcsin 0,9 > 0$.

д) В выражении $\arcsin(-0,2)$ аргумент $x = -0,2$. Поскольку $-0,2 < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-0,2) < 0$.

е) В выражении $\arcsin(-0,9)$ аргумент $x = -0,9$. Поскольку $-0,9 < 0$, значение арксинуса отрицательно.
Ответ: $\arcsin(-0,9) < 0$.