Номер 9.29, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.3. Синус суммы и синус разности двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.29, страница 265.

Упростите выражение (9.29–9.30):

9.29 a) $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $; б) $ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $

а)Для упрощения выражения $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $ воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. Значения синуса и косинуса для $ \frac{\pi}{4} $ равны: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Раскроем каждое слагаемое в исходном выражении:
$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} = \sin\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) $
$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{4} = \cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
Вынесем общий множитель $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ за скобки и упростим выражение в скобках:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \left( (\sin\alpha + \cos\alpha) - (\cos\alpha - \sin\alpha) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin\alpha + \cos\alpha - \cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} (2\sin\alpha) $
Сократив 2, получаем конечный результат:
$ \sqrt{2}\sin\alpha $
Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $

б)Упростим выражение $ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $.
Сначала преобразуем второе слагаемое, используя формулу приведения $ \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $:
$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) $
Так как косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-z) = \cos z $, мы можем записать $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\right) $
Применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.
В нашем случае $ x = \alpha - \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha - \frac{\pi}{6} $.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha - \frac{\pi}{4} $
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = \frac{\alpha - \frac{2\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6}}{2} = -\frac{\pi}{12} $
Подставим найденные значения в формулу:
$ 2\left( -2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) \right) $
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), то $ \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) = -\sin\frac{\pi}{12} $.
$ 2\left( -2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\left(-\sin\frac{\pi}{12}\right) \right) = 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{12} $
Вычислим значение $ \sin\frac{\pi}{12} $, используя формулу синуса разности ($ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $):
$ \sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $
Подставим это значение в наше выражение:
$ 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $
Ответ: $ (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $