Номер 7.72, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.72, страница 216.

Условие.

7.72 а) $sin \alpha = \frac{1}{2}$;

б) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin \alpha = -\frac{1}{2}$;

д) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $cos \alpha = \frac{1}{2}$;

з) $cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $cos \alpha = -\frac{1}{2}$;

л) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $sin α = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $sin α = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим уравнение $sin α = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Решим уравнение $sin α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Решим уравнение $cos α = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Решим уравнение $cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Решим уравнение $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$α = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Решим уравнение $cos α = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, то получаем:

$α = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Решим уравнение $cos α = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, то получаем:

$α = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Решим уравнение $cos α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то получаем:

$α = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $α = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.