Номер 7.66, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.66, страница 215.

7.66 a) $\cos 101^\circ$ и $\cos 157^\circ$;

б) $\cos 190^\circ$ и $\cos 200^\circ$;

в) $\cos 1000^\circ$ и $\cos 2000^\circ$;

г) $\cos 860^\circ$ и $\cos 510^\circ$.

а) cos 101° и cos 157°

Для сравнения значений косинусов воспользуемся свойствами функции $y = \cos(x)$. На промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$ функция косинуса является убывающей. Это означает, что для любых двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого промежутка, если $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) > \cos(\alpha_2)$.

Оба угла, $101^\circ$ и $157^\circ$, принадлежат промежутку $[90^\circ, 180^\circ]$, который является частью промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$, где косинус убывает.

Поскольку $101^\circ < 157^\circ$, то, согласно свойству убывания функции косинуса на этом промежутке, имеем $\cos(101^\circ) > \cos(157^\circ)$.

Ответ: $\cos(101^\circ) > \cos(157^\circ)$.

б) cos 190° и cos 200°

На промежутке от $180^\circ$ до $360^\circ$ функция косинуса является возрастающей. Это означает, что для любых двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого промежутка, если $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) < \cos(\alpha_2)$.

Оба угла, $190^\circ$ и $200^\circ$, принадлежат промежутку $[180^\circ, 270^\circ]$, который является частью промежутка $[180^\circ, 360^\circ]$, где косинус возрастает.

Поскольку $190^\circ < 200^\circ$, то, согласно свойству возрастания функции косинуса на этом промежутке, имеем $\cos(190^\circ) < \cos(200^\circ)$.

Ответ: $\cos(190^\circ) < \cos(200^\circ)$.

в) cos 1000° и cos 2000°

Функция косинуса является периодической с периодом $360^\circ$, то есть $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 360^\circ \cdot n)$ для любого целого $n$. Приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$.

Для угла $1000^\circ$:
$1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$.
Следовательно, $\cos(1000^\circ) = \cos(280^\circ)$. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен.

Для угла $2000^\circ$:
$2000^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 1800^\circ + 200^\circ$.
Следовательно, $\cos(2000^\circ) = \cos(200^\circ)$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен.

Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos(280^\circ) > \cos(200^\circ)$.

Ответ: $\cos(1000^\circ) > \cos(2000^\circ)$.

г) cos 860° и cos 510°

Приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность функции косинуса.

Для угла $860^\circ$:
$860^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 140^\circ = 720^\circ + 140^\circ$.
Следовательно, $\cos(860^\circ) = \cos(140^\circ)$.

Для угла $510^\circ$:
$510^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 150^\circ = 360^\circ + 150^\circ$.
Следовательно, $\cos(510^\circ) = \cos(150^\circ)$.

Теперь нужно сравнить $\cos(140^\circ)$ и $\cos(150^\circ)$. Оба угла, $140^\circ$ и $150^\circ$, находятся во II четверти, которая является частью промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$, где функция косинуса убывает.

Поскольку $140^\circ < 150^\circ$, из свойства убывания функции косинуса следует, что $\cos(140^\circ) > \cos(150^\circ)$.

Ответ: $\cos(860^\circ) > \cos(510^\circ)$.