Номер 7.63, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.63, страница 215.

7.63 Найдите все углы $ \alpha $ из интервала $ (0; 2\pi) $, для каждого из которых справедливо равенство:

a) $ |\sin \alpha| = \sin \alpha; $

б) $ |\cos \alpha| = -\cos \alpha. $

а)

Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае $x = \sin \alpha$. Следовательно, равенство $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ выполняется при условии $\sin \alpha \ge 0$.
Нам нужно найти все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для которых синус неотрицателен.
Синус является неотрицательным (положительным или равным нулю) в первой и второй координатных четвертях.
Это соответствует углам $\alpha$, удовлетворяющим неравенству $0 \le \alpha \le \pi$ на промежутке $[0, 2\pi]$.
Теперь необходимо учесть, что искомые углы должны принадлежать строгому интервалу $(0; 2\pi)$. Пересекая множество решений $[0, \pi]$ с интервалом $(0; 2\pi)$, получаем:
- Угол $\alpha=0$ не входит в интервал $(0; 2\pi)$. - Углы из интервала $(0, \pi)$ входят в искомый промежуток. - Угол $\alpha=\pi$ входит в интервал $(0; 2\pi)$ и $\sin \pi = 0$, что удовлетворяет условию.
Таким образом, искомые значения $\alpha$ принадлежат полуинтервалу $(0, \pi]$.

Ответ: $\alpha \in (0, \pi]$.

б)

Равенство вида $|x| = -x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \le 0$.
В данном случае $x = \cos \alpha$. Следовательно, равенство $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ выполняется при условии $\cos \alpha \le 0$.
Нам нужно найти все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для которых косинус неположителен.
Косинус является неположительным (отрицательным или равным нулю) во второй и третьей координатных четвертях.
Это соответствует углам $\alpha$, удовлетворяющим неравенству $\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{3\pi}{2}$ на промежутке $[0, 2\pi]$.
Проверим, принадлежит ли этот отрезок заданному интервалу $(0; 2\pi)$.
Так как $0 < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < 2\pi$, весь отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ целиком лежит внутри интервала $(0; 2\pi)$.
Таким образом, искомые значения $\alpha$ принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.