Номер 7.64, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.64, страница 215.

Условие.

7.64 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $sin (-55^\circ)$, $sin 600^\circ$, $sin 1295^\circ$;

б) $cos 653^\circ$, $cos (-68^\circ)$, $cos 295^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы расположить числа $sin(-55^\circ)$, $sin(600^\circ)$, $sin(1295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы тригонометрических функций к одному диапазону, используя периодичность и свойства синуса. Период синуса равен $360^\circ$.

1. Рассмотрим $sin(-55^\circ)$. Функция синус является нечетной, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(-55^\circ) = -sin(55^\circ)$. Угол $55^\circ$ находится в первой четверти, где синус положителен, значит $sin(-55^\circ)$ - отрицательное число.

2. Рассмотрим $sin(600^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$600^\circ = 360^\circ + 240^\circ$.
Следовательно, $sin(600^\circ) = sin(240^\circ)$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен.
Используя формулу приведения: $sin(240^\circ) = sin(180^\circ + 60^\circ) = -sin(60^\circ)$.

3. Рассмотрим $sin(1295^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$1295^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 215^\circ = 1080^\circ + 215^\circ$.
Следовательно, $sin(1295^\circ) = sin(215^\circ)$. Угол $215^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 215^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен.
Используя формулу приведения: $sin(215^\circ) = sin(180^\circ + 35^\circ) = -sin(35^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить три отрицательных числа: $-sin(55^\circ)$, $-sin(60^\circ)$ и $-sin(35^\circ)$.
Для этого сравним положительные значения $sin(35^\circ)$, $sin(55^\circ)$ и $sin(60^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $35^\circ < 55^\circ < 60^\circ$, то $sin(35^\circ) < sin(55^\circ) < sin(60^\circ)$.
При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный:
$-sin(35^\circ) > -sin(55^\circ) > -sin(60^\circ)$.
Подставляя исходные выражения, получаем:
$sin(1295^\circ) > sin(-55^\circ) > sin(600^\circ)$.

Располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.
Ответ: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.

б) Чтобы расположить числа $cos(653^\circ)$, $cos(-68^\circ)$, $cos(295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы к удобному для сравнения виду. Период косинуса равен $360^\circ$.

1. Рассмотрим $cos(653^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$653^\circ = 360^\circ + 293^\circ$.
Следовательно, $cos(653^\circ) = cos(293^\circ)$. Угол $293^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 293^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен.
Используя формулу приведения: $cos(293^\circ) = cos(360^\circ - 67^\circ) = cos(67^\circ)$.

2. Рассмотрим $cos(-68^\circ)$. Функция косинус является четной, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-68^\circ) = cos(68^\circ)$. Угол $68^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен.

3. Рассмотрим $cos(295^\circ)$. Угол $295^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен.
Используя формулу приведения: $cos(295^\circ) = cos(360^\circ - 65^\circ) = cos(65^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить три положительных числа: $cos(67^\circ)$, $cos(68^\circ)$ и $cos(65^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция косинуса убывает. Поскольку $65^\circ < 67^\circ < 68^\circ$, то $cos(65^\circ) > cos(67^\circ) > cos(68^\circ)$.
Подставляя исходные выражения, получаем:
$cos(295^\circ) > cos(653^\circ) > cos(-68^\circ)$.

Располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.
Ответ: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.