Номер 7.68, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.68, страница 215.

Условие.

7.68 Докажите справедливость равенства:

a) $sin(\pi - \alpha) = sin \alpha$;

б) $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha$;

в) $sin(3\pi - \alpha) = sin \alpha$;

г) $cos(5\pi - \alpha) = -cos \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства равенства $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем формулу синуса разности углов: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $sin(\pi - \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) - cos(\pi)sin(\alpha)$. Поскольку значения тригонометрических функций $sin(\pi)=0$ и $cos(\pi)=-1$, то выражение принимает вид: $sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем формулу косинуса разности углов: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $cos(\pi - \alpha) = cos(\pi)cos(\alpha) + sin(\pi)sin(\alpha)$. Так как $cos(\pi)=-1$ и $sin(\pi)=0$, выражение упрощается до: $(-1) \cdot cos(\alpha) + 0 \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем свойство периодичности функции синус, период которой составляет $2\pi$. Это означает, что $sin(z) = sin(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение: $sin(3\pi - \alpha) = sin(3\pi - 2\pi - \alpha) = sin(\pi - \alpha)$. Из пункта а) известно, что $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Следовательно, $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства равенства $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем свойство периодичности функции косинус, период которой равен $2\pi$. Это означает, что $cos(z) = cos(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение, вычтя два полных оборота ($4\pi$): $cos(5\pi - \alpha) = cos(5\pi - 4\pi - \alpha) = cos(\pi - \alpha)$. Из пункта б) известно, что $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Следовательно, $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.