Номер 7.68, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.68, страница 215.
№7.68 (с. 215)
Условие. №7.68 (с. 215)
скриншот условия

7.68 Докажите справедливость равенства:
a) $sin(\pi - \alpha) = sin \alpha$;
б) $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha$;
в) $sin(3\pi - \alpha) = sin \alpha$;
г) $cos(5\pi - \alpha) = -cos \alpha$.
Решение 1. №7.68 (с. 215)




Решение 2. №7.68 (с. 215)

Решение 3. №7.68 (с. 215)

Решение 4. №7.68 (с. 215)

Решение 5. №7.68 (с. 215)
а) Для доказательства равенства $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем формулу синуса разности углов: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $sin(\pi - \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) - cos(\pi)sin(\alpha)$. Поскольку значения тригонометрических функций $sin(\pi)=0$ и $cos(\pi)=-1$, то выражение принимает вид: $sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
б) Для доказательства равенства $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем формулу косинуса разности углов: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $cos(\pi - \alpha) = cos(\pi)cos(\alpha) + sin(\pi)sin(\alpha)$. Так как $cos(\pi)=-1$ и $sin(\pi)=0$, выражение упрощается до: $(-1) \cdot cos(\alpha) + 0 \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
в) Для доказательства равенства $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем свойство периодичности функции синус, период которой составляет $2\pi$. Это означает, что $sin(z) = sin(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение: $sin(3\pi - \alpha) = sin(3\pi - 2\pi - \alpha) = sin(\pi - \alpha)$. Из пункта а) известно, что $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Следовательно, $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
г) Для доказательства равенства $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем свойство периодичности функции косинус, период которой равен $2\pi$. Это означает, что $cos(z) = cos(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение, вычтя два полных оборота ($4\pi$): $cos(5\pi - \alpha) = cos(5\pi - 4\pi - \alpha) = cos(\pi - \alpha)$. Из пункта б) известно, что $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Следовательно, $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.68 расположенного на странице 215 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.68 (с. 215), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.