Номер 7.71, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.71, страница 215.
№7.71 (с. 215)
Условие. №7.71 (с. 215)
скриншот условия

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами (7.71–7.72):
7.71 а) $\sin \alpha = 1$;
7.71 б) $\sin \alpha = -1$;
7.71 в) $\sin \alpha = 0$;
7.71 г) $\cos \alpha = 1$;
7.71 д) $\cos \alpha = -1$;
7.71 е) $\cos \alpha = 0$.
Решение 1. №7.71 (с. 215)






Решение 2. №7.71 (с. 215)

Решение 3. №7.71 (с. 215)

Решение 4. №7.71 (с. 215)


Решение 5. №7.71 (с. 215)
а) $sin \alpha = 1$
На единичной окружности синус угла $\alpha$ соответствует ординате (координате $y$) точки. Следовательно, нам нужно найти точку на окружности с координатой $y = 1$. Уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставив $y = 1$, получим $x^2 + 1^2 = 1$, откуда $x=0$. Таким образом, искомая точка — это $(0, 1)$. Эта точка находится на положительной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, все углы, удовлетворяющие уравнению, находятся путем добавления к $\frac{\pi}{2}$ целых чисел, умноженных на $2\pi$. Общая формула для таких углов имеет вид:
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $sin \alpha = -1$
Нам нужно найти точку на единичной окружности с ординатой $y = -1$. Подставив $y = -1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + (-1)^2 = 1$, откуда $x=0$. Искомая точка — это $(0, -1)$. Эта точка находится на отрицательной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).
С учётом периодичности функции синуса (период $2\pi$), общая формула для всех углов, удовлетворяющих данному равенству, такова:
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в) $sin \alpha = 0$
Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых ордината $y = 0$. Подставив $y = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + 0^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
Точка $(1, 0)$ соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2\pi k$). Точка $(-1, 0)$ соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2\pi k$). Эти две серии решений можно объединить в одну формулу, заметив, что точки повторяются каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.
Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $cos \alpha = 1$
На единичной окружности косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Нам нужно найти точку с координатой $x=1$. Подставив $x = 1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $1^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(1, 0)$. Она находится на положительной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = 0$.
Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому все решения описываются формулой:
Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д) $cos \alpha = -1$
Нам нужно найти точку на единичной окружности с абсциссой $x = -1$. Подставив $x = -1$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $(-1)^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(-1, 0)$. Она находится на отрицательной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = \pi$.
С учётом периодичности функции косинуса (период $2\pi$), общая формула для всех решений имеет вид:
Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
е) $cos \alpha = 0$
Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых абсцисса $x = 0$. Подставив $x = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $0^2 + y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
Точка $(0, 1)$ соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, -1)$ соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Эти две точки расположены на оси $Oy$ и диаметрально противоположны, то есть расстояние между ними по окружности составляет $\pi$ радиан. Можно взять одну из точек (например, $\frac{\pi}{2}$) и прибавлять к ней целые кратные $\pi$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.71 расположенного на странице 215 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.71 (с. 215), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.