Номер 7.71, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.71, страница 215.

Условие.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами (7.71–7.72):

7.71 а) $\sin \alpha = 1$;
7.71 б) $\sin \alpha = -1$;
7.71 в) $\sin \alpha = 0$;
7.71 г) $\cos \alpha = 1$;
7.71 д) $\cos \alpha = -1$;
7.71 е) $\cos \alpha = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $sin \alpha = 1$

На единичной окружности синус угла $\alpha$ соответствует ординате (координате $y$) точки. Следовательно, нам нужно найти точку на окружности с координатой $y = 1$. Уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставив $y = 1$, получим $x^2 + 1^2 = 1$, откуда $x=0$. Таким образом, искомая точка — это $(0, 1)$. Эта точка находится на положительной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, все углы, удовлетворяющие уравнению, находятся путем добавления к $\frac{\pi}{2}$ целых чисел, умноженных на $2\pi$. Общая формула для таких углов имеет вид:

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin \alpha = -1$

Нам нужно найти точку на единичной окружности с ординатой $y = -1$. Подставив $y = -1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + (-1)^2 = 1$, откуда $x=0$. Искомая точка — это $(0, -1)$. Эта точка находится на отрицательной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

С учётом периодичности функции синуса (период $2\pi$), общая формула для всех углов, удовлетворяющих данному равенству, такова:

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $sin \alpha = 0$

Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых ордината $y = 0$. Подставив $y = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + 0^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Точка $(1, 0)$ соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2\pi k$). Точка $(-1, 0)$ соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2\pi k$). Эти две серии решений можно объединить в одну формулу, заметив, что точки повторяются каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.

Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $cos \alpha = 1$

На единичной окружности косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Нам нужно найти точку с координатой $x=1$. Подставив $x = 1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $1^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(1, 0)$. Она находится на положительной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = 0$.

Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому все решения описываются формулой:

Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $cos \alpha = -1$

Нам нужно найти точку на единичной окружности с абсциссой $x = -1$. Подставив $x = -1$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $(-1)^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(-1, 0)$. Она находится на отрицательной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = \pi$.

С учётом периодичности функции косинуса (период $2\pi$), общая формула для всех решений имеет вид:

Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $cos \alpha = 0$

Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых абсцисса $x = 0$. Подставив $x = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $0^2 + y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Точка $(0, 1)$ соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, -1)$ соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Эти две точки расположены на оси $Oy$ и диаметрально противоположны, то есть расстояние между ними по окружности составляет $\pi$ радиан. Можно взять одну из точек (например, $\frac{\pi}{2}$) и прибавлять к ней целые кратные $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.