Номер 7.65, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.65, страница 215.

Условие.

Сравните (7.65—7.67):

7.65

a) $ \sin 91^\circ $ и $ \sin 92^\circ $;

б) $ \sin 195^\circ $ и $ \sin 200^\circ $;

в) $ \sin 354^\circ $ и $ \sin 959^\circ $;

г) $ \sin 734^\circ $ и $ \sin (-1066^\circ) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним $sin(91^\circ)$ и $sin(92^\circ)$.
Оба угла, $91^\circ$ и $92^\circ$, находятся во второй четверти единичной окружности (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция синуса является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение синуса.
Поскольку $91^\circ < 92^\circ$, то $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.
Ответ: $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

б) Сравним $sin(195^\circ)$ и $sin(200^\circ)$.
Оба угла, $195^\circ$ и $200^\circ$, находятся в третьей четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти функция синуса также убывает. Это означает, что при увеличении угла значение синуса уменьшается.
Так как $195^\circ < 200^\circ$, то $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.
Ответ: $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

в) Сравним $sin(354^\circ)$ и $sin(959^\circ)$.
Сначала приведем углы к основному промежутку от $0^\circ$ до $360^\circ$, используя периодичность функции синуса ($sin(x) = sin(x + 360^\circ \cdot k)$ для целого $k$).
Угол $354^\circ$ уже находится в этом промежутке. Он принадлежит четвертой четверти.
Для угла $959^\circ$: $959^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 239^\circ = 720^\circ + 239^\circ$.
Следовательно, $sin(959^\circ) = sin(239^\circ)$. Угол $239^\circ$ находится в третьей четверти.
Теперь сравним $sin(354^\circ)$ и $sin(239^\circ)$. В третьей и четвертой четвертях значения синуса отрицательны.
Используем формулы приведения:
$sin(354^\circ) = sin(360^\circ - 6^\circ) = -sin(6^\circ)$.
$sin(239^\circ) = sin(180^\circ + 59^\circ) = -sin(59^\circ)$.
Нам нужно сравнить $-sin(6^\circ)$ и $-sin(59^\circ)$. Для этого сравним $sin(6^\circ)$ и $sin(59^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $6^\circ < 59^\circ$, то $sin(6^\circ) < sin(59^\circ)$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-sin(6^\circ) > -sin(59^\circ)$.
Таким образом, $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.
Ответ: $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

г) Сравним $sin(734^\circ)$ и $sin(-1066^\circ)$.
Приведем оба угла к основному промежутку, используя периодичность синуса.
Для первого значения: $734^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 14^\circ = 720^\circ + 14^\circ$.
Следовательно, $sin(734^\circ) = sin(14^\circ)$.
Для второго значения прибавим кратное $360^\circ$, чтобы получить угол в основном промежутке.
$sin(-1066^\circ) = sin(-1066^\circ + 3 \cdot 360^\circ) = sin(-1066^\circ + 1080^\circ) = sin(14^\circ)$.
Поскольку оба выражения равны $sin(14^\circ)$, то они равны между собой.
Ответ: $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.