Номер 7.62, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.62, страница 215.

Условие.

7.62 Определите знак произведения:

a) $ \sin 157^\circ \cdot \sin 275^\circ \cdot \sin (-401^\circ) \cdot \sin 910^\circ \cdot \sin 328^\circ; $

б) $ \cos 73^\circ \cdot \cos 140^\circ \cdot \cos 236^\circ \cdot \cos 301^\circ \cdot \cos (-384^\circ) \cdot \cos 1000^\circ. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы определить знак произведения $sin 157° \cdot sin 275° \cdot sin (–401°) \cdot sin 910° \cdot sin 328°$, необходимо определить знак каждого множителя.

Для определения знака тригонометрической функции используется единичная окружность, разделенная на четыре четверти:

• I четверть ($0°$ - $90°$): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$
• II четверть ($90°$ - $180°$): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$
• III четверть ($180°$ - $270°$): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$
• IV четверть ($270°$ - $360°$): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$

1. $sin 157°$: Угол $157°$ находится во II четверти ($90° < 157° < 180°$), где синус положителен. Следовательно, $sin 157° > 0$ (знак "+").

2. $sin 275°$: Угол $275°$ находится в IV четверти ($270° < 275° < 360°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 275° < 0$ (знак "–").

3. $sin(–401°)$: Функция синус является нечетной, поэтому $sin(–\alpha) = –sin(\alpha)$. Значит, $sin(–401°) = –sin(401°)$. Чтобы найти четверть для угла $401°$, вычтем полный оборот $360°$: $401° = 360° + 41°$. Угол $41°$ находится в I четверти, где синус положителен ($sin 41° > 0$). Таким образом, $sin(–401°) = –sin(41°) < 0$ (знак "–").

4. $sin 910°$: Приведем угол к основному, вычитая полные обороты: $910° = 2 \cdot 360° + 190° = 720° + 190°$. Угол $190°$ находится в III четверти ($180° < 190° < 270°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 910° < 0$ (знак "–").

5. $sin 328°$: Угол $328°$ находится в IV четверти ($270° < 328° < 360°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 328° < 0$ (знак "–").

Теперь определим знак всего произведения, перемножая знаки множителей: $(+) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (–)$. В произведении четыре отрицательных множителя и один положительный. Произведение четного числа отрицательных множителей является положительным числом.

Ответ: плюс.

б)

Определим знак произведения $cos 73° \cdot cos 140° \cdot cos 236° \cdot cos 301° \cdot cos(–384°) \cdot cos 1000°$, найдя знак каждого множителя.

1. $cos 73°$: Угол $73°$ находится в I четверти ($0° < 73° < 90°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 73° > 0$ (знак "+").

2. $cos 140°$: Угол $140°$ находится во II четверти ($90° < 140° < 180°$), где косинус отрицателен. Следовательно, $cos 140° < 0$ (знак "–").

3. $cos 236°$: Угол $236°$ находится в III четверти ($180° < 236° < 270°$), где косинус отрицателен. Следовательно, $cos 236° < 0$ (знак "–").

4. $cos 301°$: Угол $301°$ находится в IV четверти ($270° < 301° < 360°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 301° > 0$ (знак "+").

5. $cos(–384°)$: Функция косинус является четной, поэтому $cos(–\alpha) = cos(\alpha)$. Значит, $cos(–384°) = cos(384°)$. Приведем угол $384°$ к основному виду: $384° = 360° + 24°$. Угол $24°$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $cos(–384°) > 0$ (знак "+").

6. $cos 1000°$: Приведем угол к основному виду: $1000° = 2 \cdot 360° + 280° = 720° + 280°$. Угол $280°$ находится в IV четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 1000° > 0$ (знак "+").

Определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей: $(+) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+)$. В произведении два отрицательных множителя и четыре положительных. Произведение четного числа отрицательных множителей является положительным числом.

Ответ: плюс.