Номер 7.69, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.69, страница 215.

7.69 Упростите выражение:

а) $ \sin (-\alpha + \pi); $

б) $ \cos (\pi - \alpha); $

в) $ \sin (\alpha + 7\pi); $

г) $ \cos (\alpha - 9\pi). $

а) Для упрощения выражения $sin(-\alpha + \pi)$ воспользуемся формулами приведения. Сначала перепишем выражение в более удобном виде, поменяв слагаемые местами: $sin(\pi - \alpha)$.

Согласно формуле приведения, для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Это можно увидеть на тригонометрической окружности: углы $\alpha$ и $\pi - \alpha$ симметричны относительно оси ординат, поэтому их синусы равны.

Таким образом, $sin(-\alpha + \pi) = sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$.

б) Для упрощения выражения $cos(\pi - \alpha)$ также применим формулу приведения.

Согласно формуле приведения, для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. На тригонометрической окружности углы $\alpha$ и $\pi - \alpha$ симметричны относительно оси ординат, поэтому их косинусы противоположны по знаку.

Ответ: $-cos(\alpha)$.

в) Для упрощения выражения $sin(\alpha + 7\pi)$ используем свойство периодичности функции синус. Период синуса равен $2\pi$, то есть $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ для любого целого числа $k$.

Представим $7\pi$ как $6\pi + \pi$. Поскольку $6\pi$ является целым кратным периода ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$sin(\alpha + 7\pi) = sin(\alpha + \pi + 6\pi) = sin(\alpha + \pi)$.

Далее применим формулу приведения для $sin(\pi + \alpha)$. Для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$. Углы $\alpha$ и $\pi + \alpha$ симметричны относительно начала координат, поэтому их синусы противоположны.

Ответ: $-sin(\alpha)$.

г) Для упрощения выражения $cos(\alpha - 9\pi)$ воспользуемся свойствами четности и периодичности функции косинус.

Во-первых, функция косинус является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Поэтому мы можем изменить знак всего аргумента:

$cos(\alpha - 9\pi) = cos(- (9\pi - \alpha)) = cos(9\pi - \alpha)$.

Во-вторых, используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Представим $9\pi$ как $8\pi + \pi$. Поскольку $8\pi$ является целым кратным периода ($8\pi = 4 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$cos(9\pi - \alpha) = cos(8\pi + \pi - \alpha) = cos(\pi - \alpha)$.

Используя формулу приведения (как в пункте б), получаем:

$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$.