Номер 7.70, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.70, страница 215.
№7.70 (с. 215)
Условие. №7.70 (с. 215)
скриншот условия

7.70 Вычислите:
а) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 3\pi\right);$
б) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 8\pi\right);$
в) $\sin\left(9\frac{5}{6}\pi\right).$
Решение 1. №7.70 (с. 215)



Решение 2. №7.70 (с. 215)

Решение 3. №7.70 (с. 215)

Решение 4. №7.70 (с. 215)

Решение 5. №7.70 (с. 215)
а) Чтобы вычислить значение $ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) $, воспользуемся свойством периодичности синуса. Период функции синус равен $ 2\pi $, то есть $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.
Представим $ 3\pi $ как $ 2\pi + \pi $. Тогда выражение примет вид:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi) $
Отбрасывая период $ 2\pi $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) $
Теперь используем формулу приведения $ \sin(x + \pi) = -\sin(x) $:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $
Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, итоговый результат:
$ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
б) Для вычисления $ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) $ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период функции косинус также равен $ 2\pi $, то есть $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $.
В нашем случае $ -8\pi $ является целым кратным периода $ 2\pi $, так как $ -8\pi = -4 \cdot 2\pi $.
Поэтому мы можем отбросить $ -8\pi $ из аргумента косинуса:
$ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) = \cos(\frac{\pi}{3}) $
Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{3} $ является табличным:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $
в) Чтобы вычислить $ \sin(9\frac{5}{6}\pi) $, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$ 9\frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{54+5}{6} = \frac{59}{6} $
Таким образом, нам нужно найти $ \sin(\frac{59}{6}\pi) $.
Теперь воспользуемся периодичностью синуса. Выделим из аргумента целое число периодов $ 2\pi $. Для этого представим дробь $ \frac{59}{6} $ в виде суммы целой и дробной части:
$ \frac{59\pi}{6} = (8 + \frac{11}{6})\pi = 8\pi + \frac{11\pi}{6} $
Так как $ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $, это четыре полных периода, которые можно отбросить:
$ \sin(\frac{59}{6}\pi) = \sin(8\pi + \frac{11}{6}\pi) = \sin(\frac{11}{6}\pi) $
Для нахождения значения $ \sin(\frac{11\pi}{6}) $ можно использовать формулу приведения, представив $ \frac{11\pi}{6} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{6} $:
$ \sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $
Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $):
$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $
Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.
Следовательно:
$ -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.70 расположенного на странице 215 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.70 (с. 215), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.