Номер 7.70, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.70, страница 215.

Условие.

7.70 Вычислите:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 3\pi\right);$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 8\pi\right);$

в) $\sin\left(9\frac{5}{6}\pi\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы вычислить значение $ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) $, воспользуемся свойством периодичности синуса. Период функции синус равен $ 2\pi $, то есть $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

Представим $ 3\pi $ как $ 2\pi + \pi $. Тогда выражение примет вид:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi) $

Отбрасывая период $ 2\pi $, получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) $

Теперь используем формулу приведения $ \sin(x + \pi) = -\sin(x) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $

Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, итоговый результат:

$ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

б) Для вычисления $ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) $ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период функции косинус также равен $ 2\pi $, то есть $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $.

В нашем случае $ -8\pi $ является целым кратным периода $ 2\pi $, так как $ -8\pi = -4 \cdot 2\pi $.

Поэтому мы можем отбросить $ -8\pi $ из аргумента косинуса:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) = \cos(\frac{\pi}{3}) $

Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{3} $ является табличным:

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Чтобы вычислить $ \sin(9\frac{5}{6}\pi) $, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$ 9\frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{54+5}{6} = \frac{59}{6} $

Таким образом, нам нужно найти $ \sin(\frac{59}{6}\pi) $.

Теперь воспользуемся периодичностью синуса. Выделим из аргумента целое число периодов $ 2\pi $. Для этого представим дробь $ \frac{59}{6} $ в виде суммы целой и дробной части:

$ \frac{59\pi}{6} = (8 + \frac{11}{6})\pi = 8\pi + \frac{11\pi}{6} $

Так как $ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $, это четыре полных периода, которые можно отбросить:

$ \sin(\frac{59}{6}\pi) = \sin(8\pi + \frac{11}{6}\pi) = \sin(\frac{11}{6}\pi) $

Для нахождения значения $ \sin(\frac{11\pi}{6}) $ можно использовать формулу приведения, представив $ \frac{11\pi}{6} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{6} $:

$ \sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $):

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $

Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

Следовательно:

$ -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $