Номер 7.59, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.59, страница 214.

Условие.

7.59 a) $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

в) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим это значение в выражение: $1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$

Представим выражение в виде разности квадратов: $(\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Это выражение является формулой косинуса двойного угла с противоположным знаком: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.
Ответ: $-\cos(2\alpha)$

в) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$

Сгруппируем слагаемые: $(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$. Как было показано в решении пункта б), $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Подставим это упрощенное выражение в нашу задачу: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$.
Ответ: 0

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности: $(\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$. Приведем подобные слагаемые. Члены $2\sin \alpha \cos \alpha$ и $-2\sin \alpha \cos \alpha$ взаимно уничтожаются. Остается: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Таким образом, получаем: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2