Номер 7.31, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.31, страница 209.

7.31 а) $sin 225^\circ$;

б) $cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)$;

в) $sin (-\pi)$;

г) $cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

д) $sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

е) $cos \frac{3\pi}{2}$.

а)

Чтобы найти значение $\sin 225^\circ$, можно использовать формулы приведения. Представим угол $225^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) $
Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
$ \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ $
Значение синуса $45^\circ$ является табличным: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Для нахождения значения $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $
Теперь применим формулу приведения. Представим угол $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$.
$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) $
По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, так как угол $\pi - \alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $
Табличное значение косинуса $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в)

Чтобы найти значение $\sin(-\pi)$, используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$ \sin(-\pi) = -\sin(\pi) $
Значение синуса угла $\pi$ (или $180^\circ$) равно 0. Это ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу $\pi$.
$ \sin(\pi) = 0 $
Следовательно, $\sin(-\pi) = -0 = 0$.
Ответ: $0$

г)

Для вычисления $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ применим свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ (косинус $60^\circ$) является табличным.
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
Ответ: $\frac{1}{2}$

д)

Для вычисления $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $
Значение синуса угла $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) равно 1. Это ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$.
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
Следовательно, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Ответ: $-1$

е)

Чтобы найти значение $\cos\frac{3\pi}{2}$, рассмотрим единичную окружность. Угол $\frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$) соответствует точке с координатами $(0, -1)$.
Косинус угла — это абсцисса (координата x) соответствующей точки на единичной окружности.
Для угла $\frac{3\pi}{2}$ абсцисса равна 0.
Следовательно, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$