Номер 7.35, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.35, страница 209.

Найдите синусы и косинусы следующих углов, где $k$ — любое целое число (7.35—7.36):

7.35 а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; б) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; в) $\pi + 2\pi k$;

г) $-\pi + 2\pi k$; д) $2\pi k$; е) $4\pi k$.

Для нахождения синусов и косинусов указанных углов мы воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Функции синус и косинус имеют период $2\pi$, что означает, что их значения повторяются через каждый интервал в $2\pi$. Математически это записывается так:
$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$
$\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$
где $\alpha$ — любой угол, а $k$ — любое целое число.

а) Для угла $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Находим синус: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Находим косинус: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: синус равен $1$, косинус равен $0$.

б) Для угла $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.
Для нахождения значений воспользуемся свойствами четности/нечетности: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а косинус — четная ($\cos(-x) = \cos(x)$).
Находим синус: $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Находим косинус: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: синус равен $-1$, косинус равен $0$.

в) Для угла $\pi + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = \pi$.
Находим синус: $\sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$.
Находим косинус: $\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $-1$.

г) Для угла $-\pi + 2\pi k$, основная часть угла $\alpha = -\pi$.
Находим синус: $\sin(-\pi + 2\pi k) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
Находим косинус: $\cos(-\pi + 2\pi k) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $-1$.

д) Угол $2\pi k$ можно представить в виде $0 + 2\pi k$, где основная часть угла $\alpha = 0$.
Находим синус: $\sin(2\pi k) = \sin(0) = 0$.
Находим косинус: $\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $1$.

е) Угол $4\pi k$ можно представить как $0 + 2\pi \cdot (2k)$. Так как $k$ — целое число, то $2k$ — тоже целое число. Обозначим $n=2k$. Тогда угол равен $2\pi n$, что является частным случаем предыдущего пункта. Основная часть угла здесь также $\alpha = 0$.
Находим синус: $\sin(4\pi k) = \sin(0) = 0$.
Находим косинус: $\cos(4\pi k) = \cos(0) = 1$.
Ответ: синус равен $0$, косинус равен $1$.