Номер 7.39, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.39, страница 210.

7.39 ИССЛЕДУЕМ.

a) Если отмечать на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, ..., то могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?

б) Выясните, верно ли утверждение: если на единичной окружности отметить точку, соответствующую углу, радианная мера которого есть рациональное число, то она не соответствует никакому другому углу, радианная мера которого есть другое рациональное число.

а) Чтобы две точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, совпали, необходимо и достаточно, чтобы их разность была кратна полному обороту, то есть $2\pi$ радиан. Математически это записывается как $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае углы — это натуральные числа $1, 2, 3, 4, \dots$. Предположим, что две точки, соответствующие углам $m$ и $n$ радиан (где $m$ и $n$ — разные натуральные числа, пусть $m > n$), совпадают. Тогда должно выполняться равенство:

$m - n = 2\pi k$

Поскольку $m \neq n$, то $k$ не может быть равно нулю. Так как $m > n$, то $m-n$ — положительное число, следовательно, $k$ должно быть положительным целым числом.

Из этого равенства можно выразить число $\pi$:

$\pi = \frac{m - n}{2k}$

В правой части этого равенства находится дробь, числитель которой ($m-n$) — целое число, и знаменатель ($2k$) — тоже целое число. Это означает, что если бы такие точки могли совпасть, то число $\pi$ должно было бы быть рациональным числом.

Однако хорошо известно, что число $\pi$ является иррациональным, то есть его невозможно представить в виде отношения двух целых чисел. Следовательно, наше предположение неверно, и равенство $m - n = 2\pi k$ не может выполняться для целых $m, n, k$ (при $m \neq n$).

Ответ: нет, не могут.

б) Рассмотрим данное утверждение: если на единичной окружности отметить точку, соответствующую углу, радианная мера которого есть рациональное число, то она не соответствует никакому другому углу, радианная мера которого есть другое рациональное число.

Чтобы проверить это утверждение, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно. Это означает, что существуют два различных рациональных числа $r_1$ и $r_2$ ($r_1 \neq r_2$), которым на единичной окружности соответствует одна и та же точка.

Если точки совпадают, то разность соответствующих им углов должна быть кратна $2\pi$:

$r_1 - r_2 = 2\pi k$

где $k$ — некоторое ненулевое целое число (ненулевое, так как $r_1 \neq r_2$).

Поскольку $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа, их разность $R = r_1 - r_2$ также является рациональным числом. При этом $R \neq 0$.

Тогда наше равенство можно переписать как $R = 2\pi k$. Выразим отсюда $\pi$:

$\pi = \frac{R}{2k}$

В правой части этого равенства стоит дробь, где $R$ — ненулевое рациональное число, а $2k$ — ненулевое целое число. Частное от деления рационального числа на целое также является рациональным числом. Например, если $R = \frac{p}{q}$ (где $p,q$ — целые, $q \neq 0$), то $\frac{R}{2k} = \frac{p/q}{2k} = \frac{p}{2kq}$, что по определению является рациональным числом.

Таким образом, из нашего предположения следует, что $\pi$ — рациональное число. Это противоречит тому факту, что $\pi$ — иррациональное число.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным, а исходное утверждение — истинным.

Ответ: да, утверждение верно.