Номер 7.41, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.41, страница 210.

7.41 Выполняется ли равенство $cos \alpha = sin \alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте решение на рисунке.

Да, равенство $cos \alpha = sin \alpha$ выполняется при определённых значениях угла $\alpha$. Чтобы найти эти значения, решим данное тригонометрическое уравнение.

Алгебраическое решение

Исходное уравнение: $cos \alpha = sin \alpha$

Предположим, что $cos \alpha \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $cos \alpha$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = 1$

Используя определение тангенса ($tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$), получаем:
$tan \alpha = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид:
$\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Проверим наше предположение, что $cos \alpha \neq 0$. Для найденных значений $\alpha$, косинус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при четных n) или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при нечетных n). Оба этих значения не равны нулю, следовательно, наше решение корректно.

Геометрическая иллюстрация

Решение можно наглядно представить с помощью единичной окружности в декартовой системе координат. Координаты любой точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, равны $(x, y) = (cos \alpha, sin \alpha)$.

Равенство $cos \alpha = sin \alpha$ означает, что абсцисса (x) точки на окружности должна быть равна её ординате (y). Геометрически, это точки, лежащие на прямой $y = x$ (биссектрисе I и III координатных четвертей).

Таким образом, нам нужно найти точки пересечения единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$) и прямой $y=x$.

На рисунке видно две такие точки:

1. В первой четверти точка с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

2. В третьей четверти точка с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Оба этих случая объединяются общей формулой, найденной ранее.

Ответ: Да, равенство выполняется при $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.