Номер 7.40, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.40, страница 210.

7.40 Определите знак числа:

а) $ \sin 4; $

б) $ \cos \frac{3\pi}{4}; $

в) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right); $

г) $ \cos (-4). $

а) Для определения знака $ \sin 4 $ необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 4 радиана. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$.

Сравним 4 с границами четвертей, выраженными в радианах:

• Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$.
• Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$.
• Третья четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$.
• Четвертая четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ до $2\pi \approx 6.28$.

Так как выполняется неравенство $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. В третьей четверти значения синуса (координата y на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \sin 4 < 0 $.

Ответ: минус.

б) Для определения знака $ \cos \frac{3\pi}{4} $ определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{4}$.

Сравним $\frac{3\pi}{4}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$ и $\pi = \frac{4\pi}{4}$.

Так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Во второй четверти значения косинуса (координата x на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \cos \frac{3\pi}{4} < 0 $.

Можно также вычислить точное значение: $ \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, что является отрицательным числом.

Ответ: минус.

в) Для определения знака $ \sin(-\frac{\pi}{2}) $ можно воспользоваться свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

Применим это свойство: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) $.

Известно, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Следовательно, $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Это отрицательное число.

Ответ: минус.

г) Для определения знака $ \cos(-4) $ воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Применим это свойство: $ \cos(-4) = \cos(4) $.

Теперь нужно определить знак $ \cos 4 $. Как и в пункте а), определим четверть для угла в 4 радиана. Мы уже выяснили, что $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, то есть угол находится в третьей четверти. В третьей четверти значения косинуса (координата x на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \cos(-4) = \cos(4) < 0 $.

Ответ: минус.