Номер 7.33, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.33, страница 209.

7.33 На миллиметровой бумаге постройте систему координат с единичным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку $(1; 0)$. Найдите приближённо (с точностью до сотых):

a) $ \sin 30^\circ;$

б) $ \cos 60^\circ;$

в) $ \sin 150^\circ;$

г) $ \cos 150^\circ;$

д) $ \sin 190^\circ;$

е) $ \cos 250^\circ;$

ж) $ \sin 250^\circ;$

з) $ \cos 300^\circ;$

и) $ \sin 300^\circ.$

Для решения этой задачи мы используем единичную окружность, построенную в системе координат. Центр окружности находится в начале координат O(0; 0), а ее радиус $R$ равен 1 (так как она проходит через точку (1; 0)). Единичный отрезок на осях равен 10 см, что означает, что радиус окружности на миллиметровой бумаге будет равен 10 см.

По определению, для любой точки $P(x; y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, ее координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Таким образом, чтобы найти значение синуса или косинуса, нужно:

1. С помощью транспортира отложить от положительной части оси Ox нужный угол $\alpha$.
2. Отметить точку $P$ пересечения стороны угла с окружностью.
3. Измерить координату $x$ (абсциссу) или $y$ (ординату) этой точки с помощью линейки.
4. Разделить полученное значение в сантиметрах на длину единичного отрезка (10 см), чтобы получить безразмерную величину синуса или косинуса.

Ниже приведены решения для каждого пункта с точностью до сотых.

а) sin 30°
Откладываем угол $\alpha = 30°$. Это угол в первой координатной четверти. Точка $P$ на окружности будет иметь положительные координаты. Нас интересует ордината (координата $y$) этой точки. Измерив расстояние от точки $P$ до оси Ox, мы получим 5 см. Разделив это на длину радиуса (10 см), получаем значение синуса: $\sin(30^\circ) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

б) cos 60°
Откладываем угол $\alpha = 60°$. Точка находится в первой четверти. Нас интересует абсцисса (координата $x$) этой точки. Измерив расстояние от точки $P$ до оси Oy, мы получим 5 см. Значение косинуса: $\cos(60^\circ) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

в) sin 150°
Угол $\alpha = 150°$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$). Ордината ($y$) в этой четверти положительна. Угол $150^\circ$ симметричен углу $30^\circ$ относительно оси Oy. Это значит, что их синусы равны: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$. Измеренная ордината будет равна 5 см. Значение синуса: $\frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

г) cos 150°
Для угла $\alpha = 150°$ во второй четверти абсцисса ($x$) отрицательна. Учитывая симметрию с углом $30^\circ$, значение косинуса будет таким же по модулю, как $\cos(30^\circ)$, но с отрицательным знаком: $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Измерив абсциссу точки, мы получим примерно -8,66 см. Значение косинуса: $\frac{-8.66 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.87$.
Ответ: -0.87

д) sin 190°
Угол $\alpha = 190^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Опорный угол равен $190^\circ - 180^\circ = 10^\circ$. Таким образом, $\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ)$. Измерив ординату точки, мы получим примерно -1,74 см. Значение синуса: $\frac{-1.74 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.17$.
Ответ: -0.17

е) cos 250°
Угол $\alpha = 250^\circ$ находится в третьей четверти. Абсцисса ($x$) здесь отрицательна. Опорный угол к оси Ox: $250^\circ - 180^\circ = 70^\circ$. Следовательно, $\cos(250^\circ) = -\cos(70^\circ)$. Измерив абсциссу точки, получим примерно -3,42 см. Значение косинуса: $\frac{-3.42 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.34$.
Ответ: -0.34

ж) sin 250°
Для угла $\alpha = 250^\circ$ в третьей четверти ордината ($y$) отрицательна. Опорный угол $70^\circ$. Следовательно, $\sin(250^\circ) = -\sin(70^\circ)$. Измерив ординату, получим примерно -9,40 см. Значение синуса: $\frac{-9.40 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.94$.
Ответ: -0.94

з) cos 300°
Угол $\alpha = 300^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$). Абсцисса ($x$) здесь положительна. Опорный угол к оси Ox: $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Таким образом, $\cos(300^\circ) = \cos(60^\circ)$. Измерив абсциссу, получим 5 см. Значение косинуса: $\frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$.
Ответ: 0.50

и) sin 300°
Для угла $\alpha = 300^\circ$ в четвертой четверти ордината ($y$) отрицательна. Опорный угол $60^\circ$. Следовательно, $\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ)$. Измерив ординату, получим примерно -8,66 см. Значение синуса: $\frac{-8.66 \text{ см}}{10 \text{ см}} \approx -0.87$.
Ответ: -0.87