Номер 7.32, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.32, страница 209.

7.32 а) $\sin \frac{11\pi}{2}$;

б) $\cos \left(-\frac{13\pi}{4}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{3}$;

г) $\cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$.

а) Чтобы найти значение $\sin\frac{11\pi}{2}$, воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{11\pi}{2}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{11\pi}{2} = \frac{8\pi + 3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 4\pi + \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.

Используя свойство периодичности $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$ для целого $k$, получаем:

$\sin\frac{11\pi}{2} = \sin(2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin\frac{3\pi}{2}$.

Значение синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$ равно -1.

Ответ: -1

б) Для вычисления $\cos(-\frac{13\pi}{4})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = \cos(\frac{13\pi}{4})$.

Теперь используем периодичность косинуса, период которого равен $2\pi$. Представим аргумент $\frac{13\pi}{4}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$).

$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.

Следовательно, $\cos\frac{13\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos\frac{5\pi}{4}$.

Чтобы найти значение $\cos\frac{5\pi}{4}$, можно использовать формулу приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\cos\frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4}$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{3}$, используем свойство периодичности синуса (период $2\pi$). Представим аргумент $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$).

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Используя свойство $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$, получаем:

$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3}$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Для вычисления $\cos(-\frac{13\pi}{6})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

$\cos(-\frac{13\pi}{6}) = \cos(\frac{13\pi}{6})$.

Теперь используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Представим аргумент $\frac{13\pi}{6}$ в виде суммы, выделив целое число периодов ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$).

$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Используя свойство $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, получаем:

$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6}$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$