Номер 7.36, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.36, страница 209.

Условие.

7.36 а) $\pi k$;

б) $-\pi k$;

в) $\frac{\pi}{2} k$;

г) $-\frac{\pi}{2} k$;

д) $\frac{\pi}{2} + \pi k$;

е) $-\frac{\pi}{2} + \pi k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

В данном задании представлены общие решения простейших тригонометрических уравнений. Для каждого пункта мы определим, какому уравнению соответствует данное решение, и подробно объясним, как это решение получается. Всюду в решении предполагается, что $k$ — любое целое число, то есть $k \in \mathbb{Z}$.

а) $πk$

Данная формула задает множество точек, являющихся решением тригонометрического уравнения $sin(x) = 0$.

Решение:

Уравнение $sin(x) = 0$ означает, что мы ищем углы $x$, синус которых равен нулю. На единичной окружности синус угла соответствует ординате (координате $y$) точки. Ордината равна нулю для точек, лежащих на оси абсцисс (оси $Ox$). Таких точек на единичной окружности две: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Первая точка соответствует углам вида $2\pi n$, а вторая — углам вида $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, мы получаем все углы, кратные $\pi$: $0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \dots$. Это можно записать одной формулой: $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Также это является решением уравнения $tan(x) = 0$, поскольку $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, и тангенс равен нулю там же, где и синус.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(x) = 0$ (или $tan(x)=0$).

б) $-\pi k$

Рассмотрим множество значений, которые принимает выражение $-\pi k$ при $k \in \mathbb{Z}$. Если $k$ пробегает все целые числа ($\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$), то $-k$ также пробегает все целые числа ($\dots, 2, 1, 0, -1, -2, \dots$).

Обозначив $m = -k$, мы получим, что выражение $-\pi k$ эквивалентно выражению $\pi m$, где $m$ — любое целое число. Таким образом, множество значений $\{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \}$ полностью совпадает с множеством значений для выражения $\pi k$ из пункта а).

Следовательно, формула $x = -\pi k$ является альтернативной записью для того же самого множества решений, что и в пункте а).

Ответ: $x = -\pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(x) = 0$ (или $tan(x)=0$).

в) $\frac{\pi}{2} k$

Данная формула задает множество точек $0, \pm\frac{\pi}{2}, \pm\pi, \pm\frac{3\pi}{2}, \dots$. Эти точки на единичной окружности соответствуют пересечениям окружности с осями координат. В этих точках либо синус, либо косинус равен нулю. Это значит, что их произведение равно нулю: $sin(x) \cdot cos(x) = 0$.

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Уравнение $sin(x)cos(x)=0$ эквивалентно уравнению $\frac{1}{2}sin(2x) = 0$, или просто $sin(2x) = 0$.

Сделаем замену переменной: $t = 2x$. Уравнение примет вид $sin(t) = 0$.

Как мы выяснили в пункте а), решение этого уравнения имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $2x = \pi n$.

Разделим обе части на 2: $x = \frac{\pi n}{2}$.

Заменив $n$ на $k$, получим искомую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(2x) = 0$.

г) $-\frac{\pi}{2} k$

Как и в пункте б), данная запись является альтернативной формой для решения из пункта в). Множество значений, которые принимает выражение $-\frac{\pi}{2} k$ для всех целых $k$, совпадает с множеством значений, которые принимает выражение $\frac{\pi}{2} k$.

Пусть $m = -k$. Поскольку $k$ может быть любым целым числом, $m$ также может быть любым целым числом. Тогда выражение $-\frac{\pi}{2} k$ можно переписать как $\frac{\pi}{2} m$.

Таким образом, это та же самая серия решений, что и в пункте в). Она соответствует уравнению $sin(2x)=0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $sin(2x) = 0$.

д) $\frac{\pi}{2} + \pi k$

Данная формула задает множество точек, являющихся решением тригонометрического уравнения $cos(x) = 0$.

Решение:

Уравнение $cos(x) = 0$ означает, что мы ищем углы $x$, косинус которых равен нулю. На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Абсцисса равна нулю для точек, лежащих на оси ординат (оси $Oy$). Таких точек на единичной окружности две: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Первая точка соответствует углам вида $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, а вторая — углам вида $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу. Заметим, что точки на оси $Oy$ повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Таким образом, все решения можно получить, стартуя от $\frac{\pi}{2}$ и прибавляя целое число полуоборотов ($\pi k$).

Получаем общую формулу: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Это также точки, в которых $cot(x) = 0$ или $tan(x)$ не определен.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $cos(x) = 0$.

е) $-\frac{\pi}{2} + \pi k$

Рассмотрим, как связаны множества решений $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ из пункта д).

Преобразуем выражение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi + \pi(k-1) = \frac{\pi}{2} + \pi(k-1)$.

Обозначим $m = k-1$. Поскольку $k$ пробегает все целые числа, $m$ также пробегает все целые числа. Таким образом, мы получили выражение $\frac{\pi}{2} + \pi m$, которое имеет тот же вид, что и в пункте д).

Это доказывает, что обе формулы описывают одно и то же множество точек. Следовательно, данная формула также является решением уравнения $cos(x) = 0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения $cos(x) = 0$.