Номер 7.43, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.43, страница 210.

Условие.

Что больше (7.43–7.44):

7.43

а) $ \sin 40^\circ $ или $ \sin \frac{\pi}{4} $;

б) $ \cos \frac{\pi}{3} $ или $ \cos 60^\circ $;

в) $ \sin 120^\circ $ или $ \sin 130^\circ $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{4} $ или $ \cos \pi $;

д) $ \sin 300^\circ $ или $ \sin 130^\circ $;

е) $ \cos \frac{3\pi}{4} $ или $ \cos \frac{\pi}{2} $;

ж) $ \sin (-300^\circ) $ или $ \cos 120^\circ $;

з) $ \cos \frac{13\pi}{4} $ или $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Сравним $ \sin 40^\circ $ и $ \sin \frac{\pi}{4} $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{4} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $.
Теперь сравним $ \sin 40^\circ $ и $ \sin 45^\circ $.
Оба угла, $ 40^\circ $ и $ 45^\circ $, находятся в первой четверти (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). В этой четверти функция синус возрастает, то есть большему углу соответствует большее значение синуса.
Поскольку $ 40^\circ < 45^\circ $, то $ \sin 40^\circ < \sin 45^\circ $.
Ответ: $ \sin \frac{\pi}{4} > \sin 40^\circ $.

б) Сравним $ \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \cos 60^\circ $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{3} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ $.
Задача сводится к сравнению $ \cos 60^\circ $ и $ \cos 60^\circ $. Эти значения равны.
$ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ $.

в) Сравним $ \sin 120^\circ $ и $ \sin 130^\circ $.
Оба угла, $ 120^\circ $ и $ 130^\circ $, находятся во второй четверти (от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $). В этой четверти функция синус убывает, то есть большему углу соответствует меньшее значение синуса.
Поскольку $ 120^\circ < 130^\circ $, то $ \sin 120^\circ > \sin 130^\circ $.
Можно также использовать формулы приведения: $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ $.
$ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ $. Так как $ 60^\circ > 50^\circ $ и в первой четверти синус возрастает, $ \sin 60^\circ > \sin 50^\circ $.
Ответ: $ \sin 120^\circ > \sin 130^\circ $.

г) Сравним $ \cos \frac{3\pi}{4} $ и $ \cos \pi $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{3\pi}{4} = 135^\circ $, $ \pi = 180^\circ $.
Сравним $ \cos 135^\circ $ и $ \cos 180^\circ $.
На промежутке от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ функция косинус убывает. Это значит, что большему углу соответствует меньшее значение косинуса.
Поскольку $ 135^\circ < 180^\circ $, то $ \cos 135^\circ > \cos 180^\circ $.
Также можно вычислить значения: $ \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \pi = -1 $.
Так как $ -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 $, а $ -0.707 > -1 $, то $ \cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi $.
Ответ: $ \cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi $.

д) Сравним $ \sin 300^\circ $ и $ \sin 130^\circ $.
Угол $ 300^\circ $ находится в четвертой четверти ($ 270^\circ < 300^\circ < 360^\circ $), где синус отрицателен.
Угол $ 130^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ $), где синус положителен.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $ \sin 130^\circ > \sin 300^\circ $.
Для проверки: $ \sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. $ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ > 0 $.
Ответ: $ \sin 130^\circ > \sin 300^\circ $.

е) Сравним $ \cos \frac{3\pi}{4} $ и $ \cos \frac{\pi}{2} $.
Вычислим значения:
$ \cos \frac{3\pi}{4} = \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \cos \frac{\pi}{2} = \cos(90^\circ) = 0 $.
Поскольку $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ является отрицательным числом, а $ 0 $ - нет, то $ 0 > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \cos \frac{\pi}{2} > \cos \frac{3\pi}{4} $.

ж) Сравним $ \sin(-300^\circ) $ и $ \cos 120^\circ $.
Упростим выражения:
Используя периодичность синуса: $ \sin(-300^\circ) = \sin(-300^\circ + 360^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Для косинуса: $ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $.
Сравниваем $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ (положительное число) и $ -\frac{1}{2} $ (отрицательное число).
Ответ: $ \sin(-300^\circ) > \cos 120^\circ $.

з) Сравним $ \cos \frac{13\pi}{4} $ и $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Упростим выражения:
Для косинуса, используя периодичность ($ 2\pi $): $ \frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4} $.
$ \cos \frac{13\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Для синуса, используя свойство нечетности: $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.
Сравниваем $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -1 $.
Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $.
Поскольку $ 0.707 < 1 $, то $ -0.707 > -1 $.
Ответ: $ \cos \frac{13\pi}{4} > \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.