Номер 7.44, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.44, страница 210.

7.44 а) $sin 3$ или $sin \pi$;

б) $cos 4$ или $cos 5$;

в) $sin 1$ или $sin (-1)$;

г) $cos (-2)$ или $cos 2$;

д) $sin 1$ или $sin 2$;

е) $cos 2$ или $cos 3$;

ж) $sin 3$ или $cos 3$;

з) $sin 3$ или $sin 5?$

а) sin 3 или sin π

Сравним $\sin 3$ и $\sin \pi$. Значение $\sin \pi$ равно 0. Аргумент 3 у функции синуса задан в радианах. Число $\pi \approx 3.14159$, следовательно, выполняется неравенство $0 < 3 < \pi$. Углы в этом диапазоне находятся в первой и второй координатных четвертях. Угол в 3 радиана находится во второй четверти. Для любого угла $x$ из интервала $(0, \pi)$, значение $\sin x$ положительно. Таким образом, $\sin 3 > 0$. Сравнивая $\sin 3$ и $\sin \pi$, получаем $\sin 3 > 0$, а $\sin \pi = 0$. Следовательно, $\sin 3 > \sin \pi$.

Ответ: $\sin 3 > \sin \pi$.

б) cos 4 или cos 5

Сравним $\cos 4$ и $\cos 5$. Аргументы 4 и 5 заданы в радианах. Определим положение углов на единичной окружности, используя приближенные значения: $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Угол в 4 радиана удовлетворяет неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, значит, он находится в третьей координатной четверти. В третьей четверти косинус отрицателен, то есть $\cos 4 < 0$. Угол в 5 радиан удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, значит, он находится в четвертой координатной четверти. В четвертой четверти косинус положителен, то есть $\cos 5 > 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\cos 5 > \cos 4$.

Ответ: $\cos 5 > \cos 4$.

в) sin 1 или sin (-1)

Сравним $\sin 1$ и $\sin(-1)$. Функция синус является нечетной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. Поэтому $\sin(-1) = -\sin 1$. Нам нужно сравнить $\sin 1$ и $-\sin 1$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. В первой четверти синус положителен, то есть $\sin 1 > 0$. Соответственно, $-\sin 1 < 0$. Так как любое положительное число больше отрицательного, получаем $\sin 1 > -\sin 1$, что равносильно $\sin 1 > \sin(-1)$.

Ответ: $\sin 1 > \sin(-1)$.

г) cos (-2) или cos 2

Сравним $\cos(-2)$ и $\cos 2$. Функция косинус является четной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Применив это свойство, получаем $\cos(-2) = \cos 2$. Таким образом, сравниваемые значения равны.

Ответ: $\cos(-2) = \cos 2$.

д) sin 1 или sin 2

Сравним $\sin 1$ и $\sin 2$. Рассмотрим разность этих значений и воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$. $\sin 2 - \sin 1 = 2\sin\frac{2-1}{2}\cos\frac{2+1}{2} = 2\sin(0.5)\cos(1.5)$. Определим знаки множителей. Углы 0.5 и 1.5 радиана находятся в первой координатной четверти, так как $0 < 0.5 < \frac{\pi}{2}$ и $0 < 1.5 < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$). В первой четверти и синус, и косинус положительны. Значит, $\sin(0.5) > 0$ и $\cos(1.5) > 0$. Произведение трех положительных чисел положительно, следовательно, $\sin 2 - \sin 1 > 0$, откуда $\sin 2 > \sin 1$.

Ответ: $\sin 2 > \sin 1$.

е) cos 2 или cos 3

Сравним $\cos 2$ и $\cos 3$. Углы 2 и 3 радиана находятся во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ и $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$). На интервале $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y=\cos x$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\cos x_1 > \cos x_2$. Так как $2 < 3$, то $\cos 2 > \cos 3$.

Ответ: $\cos 2 > \cos 3$.

ж) sin 3 или cos 3

Сравним $\sin 3$ и $\cos 3$. Угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$). Во второй четверти значения синуса положительны ($\sin 3 > 0$), а значения косинуса отрицательны ($\cos 3 < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\sin 3 > \cos 3$.

Ответ: $\sin 3 > \cos 3$.

з) sin 3 или sin 5?

Сравним $\sin 3$ и $\sin 5$. Определим, в каких координатных четвертях находятся углы 3 и 5 радиан. Угол в 3 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$), поэтому его синус положителен: $\sin 3 > 0$. Угол в 5 радиан находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$), поэтому его синус отрицателен: $\sin 5 < 0$. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\sin 3 > \sin 5$.

Ответ: $\sin 3 > \sin 5$.