Номер 7.45, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.45, страница 210.

Условие.

7.45 Определите знак произведения:

a) $ \cos 130^\circ \cdot \sin 170^\circ; $

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \cdot \cos \frac{2\pi}{3}; $

в) $ \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right); $

г) $ \cos \frac{11\pi}{4} \cdot \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $cos 130^\circ \cdot sin 170^\circ$

Для определения знака произведения, определим знак каждого множителя отдельно.

1. Угол $130^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos 130^\circ < 0$.

2. Угол $170^\circ$ также находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $sin 170^\circ > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.

б) $sin\frac{3\pi}{4} \cdot cos\frac{2\pi}{3}$

1. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $sin\frac{3\pi}{4} > 0$.

2. Угол $\frac{2\pi}{3}$ также находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos\frac{2\pi}{3} < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

в) $sin(-\frac{3\pi}{2}) \cdot cos(-\frac{5\pi}{6})$

1. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$. $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2})$. Значение $sin(\frac{3\pi}{2})$ равно $-1$. Таким образом, $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{2}) > 0$.

2. Используем свойство четности косинуса: $cos(-x) = cos(x)$. $cos(-\frac{5\pi}{6}) = cos(\frac{5\pi}{6})$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos(-\frac{5\pi}{6}) < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

г) $cos\frac{11\pi}{4} \cdot sin(-\frac{17\pi}{3})$

1. Упростим аргумент косинуса, выделив полный оборот $2\pi$: $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. Поскольку косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, $cos(\frac{11\pi}{4}) = cos(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $cos\frac{11\pi}{4} < 0$.

2. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\frac{17\pi}{3}) = -sin(\frac{17\pi}{3})$. Теперь упростим аргумент синуса, выделив полные обороты: $\frac{17\pi}{3} = \frac{12\pi + 5\pi}{3} = 4\pi + \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{3}$. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, $sin(\frac{17\pi}{3}) = sin(\frac{5\pi}{3})$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), где синус отрицателен. Значит, $sin(\frac{17\pi}{3}) < 0$. Тогда $sin(-\frac{17\pi}{3}) = -sin(\frac{17\pi}{3}) = -(\text{отрицательное число}) > 0$.

3. Произведение отрицательного числа ($cos\frac{11\pi}{4}$) и положительного числа ($sin(-\frac{17\pi}{3})$) является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.