Номер 7.49, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.49, страница 214.

Условие.

7.49° Назовите наибольшее и наименьшее значения:

a) $\sin \alpha$;

б) $\cos \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения наибольшего и наименьшего значений синуса и косинуса используется их определение через единичную окружность. Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус, равный 1. Для любого угла $\alpha$ точка на окружности, соответствующая этому углу, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

а) $\sin \alpha$

Значение $\sin \alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности. Поскольку любая точка на окружности с радиусом 1 удалена от центра не более чем на 1, ее координаты по оси $y$ не могут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.

Наибольшее значение, равное 1, функция $\sin \alpha$ принимает, когда точка находится в самой верхней части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 90^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Наименьшее значение, равное -1, функция $\sin \alpha$ принимает, когда точка находится в самой нижней части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 270^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Таким образом, все значения $\sin \alpha$ лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение $\sin \alpha$ равно 1, наименьшее значение равно -1.

б) $\cos \alpha$

Значение $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности. Как и в случае с ординатой, абсцисса точки на единичной окружности не может выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.

Наибольшее значение, равное 1, функция $\cos \alpha$ принимает, когда точка находится в самой правой части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 0^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Наименьшее значение, равное -1, функция $\cos \alpha$ принимает, когда точка находится в самой левой части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 180^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \pi + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Таким образом, все значения $\cos \alpha$ лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение $\cos \alpha$ равно 1, наименьшее значение равно -1.