Номер 7.29, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.29, страница 209.

7.29 Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите:

a) $sin 45^\circ$;

б) $cos \frac{\pi}{4}$;

в) $sin \frac{\pi}{6}$;

г) $cos 30^\circ$;

д) $sin 60^\circ$;

е) $cos \frac{\pi}{3}$.

а) Для нахождения $sin 45°$ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике два острых угла равны по $45°$, а катеты (стороны, прилежащие к прямому углу) равны между собой. Пусть длина каждого катета равна $a$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$ (стороны, противолежащей прямому углу):
$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла в $45°$ противолежащий катет равен $a$.
$sin 45° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Сначала переведем угол из радианной меры в градусную. Зная, что $\pi$ радиан = $180°$, получаем:
$\frac{\pi}{4} = \frac{180°}{4} = 45°$.
Следовательно, нам нужно найти $cos 45°$.

Используем тот же равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и гипотенузой $a\sqrt{2}$, что и в пункте а).

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для угла в $45°$ прилежащий катет также равен $a$.
$cos \frac{\pi}{4} = cos 45° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Переведем угол из радиан в градусы:
$\frac{\pi}{6} = \frac{180°}{6} = 30°$.
Требуется найти $sin 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами $30°$ и $60°$. По свойству такого треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна $c$, тогда катет, противолежащий углу $30°$, равен $a = \frac{c}{2}$.

По определению синуса:
$sin \frac{\pi}{6} = sin 30° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2}$

Ответ: $sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

г) Для нахождения $cos 30°$ воспользуемся тем же прямоугольным треугольником с углами $30°$, $60°$ и $90°$.

Мы знаем, что гипотенуза равна $c$, а катет, противолежащий углу $30°$, равен $a = \frac{c}{2}$. Найдем второй катет $b$ (который является прилежащим к углу $30°$) по теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(\frac{c}{2})^2 + b^2 = c^2$
$\frac{c^2}{4} + b^2 = c^2$
$b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4}$
$b = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

По определению косинуса:
$cos 30° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{c\sqrt{3}/2}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

д) Для нахождения $sin 60°$ используем тот же прямоугольный треугольник с углами $30°$, $60°$, $90°$.

Из пункта г) мы знаем, что если гипотенуза равна $c$, то катет, прилежащий к углу $30°$, равен $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$. Этот катет $b$ является противолежащим для угла $60°$.

По определению синуса:
$sin 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{c\sqrt{3}/2}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

е) Переведем угол из радиан в градусы:
$\frac{\pi}{3} = \frac{180°}{3} = 60°$.
Требуется найти $cos 60°$.

И снова используем прямоугольный треугольник с углами $30°$, $60°$ и $90°$. Катет, прилежащий к углу $60°$, является противолежащим для угла $30°$. Мы знаем, что его длина $a = \frac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.

По определению косинуса:
$cos \frac{\pi}{3} = cos 60° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2}$

Ответ: $cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.