Номер 7.26, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.26, страница 208.

Условие.

7.26 Для каких углов $\alpha$:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\cos \alpha = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для решения уравнения $\sin \alpha = 0$ воспользуемся определением синуса через единичную тригонометрическую окружность. Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате $y$) точки на окружности, соответствующей этому углу.

Нам нужно найти такие углы $\alpha$, для которых точка на окружности имеет ординату, равную нулю. На единичной окружности есть две такие точки:
1. Точка с координатами $(1, 0)$, которая соответствует углам $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ и в общем виде $2\pi n$, где $n$ — целое число.
2. Точка с координатами $(-1, 0)$, которая соответствует углам $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ и в общем виде $\pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Обе серии решений можно объединить в одну общую формулу. Если мы посмотрим на все эти углы ($0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots, -\pi, -2\pi, \dots$), то увидим, что это все углы, кратные $\pi$. Таким образом, общее решение уравнения $\sin \alpha = 0$ записывается как: $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения $\cos \alpha = 0$ также обратимся к единичной тригонометрической окружности. Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе (координате $x$) точки на окружности, соответствующей этому углу.

Нам нужно найти такие углы $\alpha$, для которых точка на окружности имеет абсциссу, равную нулю. На единичной окружности есть две такие точки:
1. Точка с координатами $(0, 1)$, которая соответствует углам $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \dots$ и в общем виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.
2. Точка с координатами $(0, -1)$, которая соответствует углам $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \dots$ и в общем виде $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (или $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$), где $n$ — целое число.

Эти две серии решений также можно объединить. Углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ отличаются на $\pi$. Это означает, что решения повторяются через каждый полуоборот. Мы можем взять первое решение $\frac{\pi}{2}$ и прибавлять к нему любое целое число полуоборотов ($\pi n$). Таким образом, общее решение уравнения $\cos \alpha = 0$ записывается как: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.