Страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.24 а) Какую окружность в тригонометрии называют единичной окружностью?

б) Какой вектор принят за начальное положение подвижного вектора?

в) Какое направление поворота принято за положительное?

а) Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность, расположенную в декартовой системе координат, с центром в начале координат (точке (0, 0)) и радиусом, равным единице. Она является фундаментальным инструментом для определения тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и т.д.) для любого угла. Каждая точка на этой окружности имеет координаты $(x, y)$, где $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$, а $\alpha$ — это угол, образованный положительным направлением оси Ox и радиус-вектором, проведенным в эту точку. Уравнение единичной окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$.
Ответ: окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

б) За начальное положение подвижного вектора (или радиус-вектора) на единичной окружности принимают вектор, который исходит из центра окружности, то есть из начала координат (0, 0), а его конец находится на окружности в точке (1, 0). Этот вектор полностью лежит на положительной части оси абсцисс (оси Ox). Именно от этого начального положения отсчитываются все углы поворота.
Ответ: вектор, направленный из центра окружности в точку (1, 0) вдоль положительной полуоси абсцисс.

в) В тригонометрии и математическом анализе существует соглашение о направлениях поворота. Положительным направлением поворота считается движение против часовой стрелки. Если радиус-вектор поворачивается из своего начального положения (вдоль оси Ox) против часовой стрелки, то угол поворота считается положительным. Соответственно, движение по часовой стрелке задает отрицательный угол поворота.
Ответ: направление против часовой стрелки.

7.25 а) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу $ \alpha $?

б) Что называют: синусом угла $ \alpha $; косинусом угла $ \alpha $?

в) Для какого угла $ \alpha $ существует: $ \sin \alpha $; $ \cos \alpha $?

г) Единственный или нет для данного угла $ \alpha $: $ \sin \alpha $; $ \cos \alpha $?

а) В прямоугольной системе координат рассматривают единичную окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Начальной точкой движения по окружности является точка $A(1,0)$. Точкой, соответствующей углу $\alpha$, называют точку на единичной окружности, в которую перейдет начальная точка $A(1,0)$ при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат. Положительным считается поворот против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Ответ: Точкой, соответствующей углу $\alpha$, является точка, полученная в результате поворота начальной точки $(1,0)$ на единичной окружности на угол $\alpha$ вокруг центра координат.

б) Пусть точка $P(x, y)$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$.
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) точки $P$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) точки $P$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ называют ординату ($y$), а косинусом — абсциссу ($x$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

в) Синус и косинус существуют для любого угла $\alpha$. Это следует из их определения: для любого действительного числа $\alpha$ (представляющего угол в градусах или радианах) можно выполнить поворот на единичной окружности и получить соответствующую точку. Любая точка на окружности имеет абсциссу и ординату, которые и являются косинусом и синусом данного угла. Следовательно, область определения функций $y = \sin \alpha$ и $y = \cos \alpha$ — это множество всех действительных чисел, $\alpha \in \mathbb{R}$.

Ответ: Синус и косинус существуют для любого действительного угла $\alpha$.

г) Да, для данного угла $\alpha$ значения его синуса и косинуса единственны. Это связано с тем, что для каждого конкретного угла $\alpha$ поворот начальной точки $(1,0)$ приводит к одной и только одной точке $P(x, y)$ на единичной окружности. Так как эта точка единственна, то и ее координаты $x$ и $y$ также единственны. Поскольку $\cos \alpha = x$ и $\sin \alpha = y$, значения косинуса и синуса для заданного угла $\alpha$ однозначно определены. Это основное свойство функции: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Ответ: Да, для каждого данного угла $\alpha$ значения его синуса и косинуса единственны.

7.26 Для каких углов $\alpha$:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\cos \alpha = 0?$

а)

Для решения уравнения $\sin \alpha = 0$ воспользуемся определением синуса через единичную тригонометрическую окружность. Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате $y$) точки на окружности, соответствующей этому углу.

Нам нужно найти такие углы $\alpha$, для которых точка на окружности имеет ординату, равную нулю. На единичной окружности есть две такие точки:
1. Точка с координатами $(1, 0)$, которая соответствует углам $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ и в общем виде $2\pi n$, где $n$ — целое число.
2. Точка с координатами $(-1, 0)$, которая соответствует углам $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ и в общем виде $\pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Обе серии решений можно объединить в одну общую формулу. Если мы посмотрим на все эти углы ($0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots, -\pi, -2\pi, \dots$), то увидим, что это все углы, кратные $\pi$. Таким образом, общее решение уравнения $\sin \alpha = 0$ записывается как: $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения $\cos \alpha = 0$ также обратимся к единичной тригонометрической окружности. Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе (координате $x$) точки на окружности, соответствующей этому углу.

Нам нужно найти такие углы $\alpha$, для которых точка на окружности имеет абсциссу, равную нулю. На единичной окружности есть две такие точки:
1. Точка с координатами $(0, 1)$, которая соответствует углам $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \dots$ и в общем виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.
2. Точка с координатами $(0, -1)$, которая соответствует углам $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \dots$ и в общем виде $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (или $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$), где $n$ — целое число.

Эти две серии решений также можно объединить. Углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ отличаются на $\pi$. Это означает, что решения повторяются через каждый полуоборот. Мы можем взять первое решение $\frac{\pi}{2}$ и прибавлять к нему любое целое число полуоборотов ($\pi n$). Таким образом, общее решение уравнения $\cos \alpha = 0$ записывается как: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7.27 Какие знаки имеют синус и косинус угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена:

в I четверти;

во II четверти;

в III четверти;

в IV четверти?

Для определения знаков синуса и косинуса угла $\alpha$ используется единичная окружность, расположенная в центре декартовой системы координат. Любой точке $P$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$, можно сопоставить ее координаты $(x; y)$. По определению, синус угла $\alpha$ равен ординате этой точки, а косинус — ее абсциссе:

$\sin(\alpha) = y$

$\cos(\alpha) = x$

Таким образом, знаки $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ зависят от знаков координат $y$ и $x$ в той координатной четверти, где расположена точка $P$.

в I четверти
Если точка расположена в I четверти, то ее абсцисса $x$ и ордината $y$ положительны ($x > 0, y > 0$). Следовательно, и синус, и косинус угла $\alpha$ положительны.
Ответ: $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) > 0$.

во II четверти
Если точка расположена во II четверти, ее абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$). Следовательно, синус угла $\alpha$ положителен, а косинус — отрицателен.
Ответ: $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) < 0$.

в III четверти
Если точка расположена в III четверти, то ее абсцисса $x$ и ордината $y$ отрицательны ($x < 0, y < 0$). Следовательно, и синус, и косинус угла $\alpha$ отрицательны.
Ответ: $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) < 0$.

в IV четверти
Если точка расположена в IV четверти, ее абсцисса $x$ положительна ($x > 0$), а ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Следовательно, синус угла $\alpha$ отрицателен, а косинус — положителен.
Ответ: $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) > 0$.

7.28 Найдите:

а) $sin 0^\circ$;

б) $cos 0$;

в) $sin 90^\circ$;

г) $cos \frac{\pi}{2}$;

д) $sin 180^\circ$;

е) $cos \pi$;

ж) $sin 270^\circ$;

з) $cos \frac{3\pi}{2}$;

и) $sin 2\pi$;

к) $cos 360^\circ$;

л) $sin 0$;

м) $cos 0^\circ$.

а) Значение синуса угла соответствует ординате (координате y) точки на единичной окружности. Углу в $0^\circ$ соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Следовательно, $\sin 0^\circ = 0$.
Ответ: 0

б) Значение косинуса угла соответствует абсциссе (координате x) точки на единичной окружности. Углу в 0 радиан (что эквивалентно $0^\circ$) соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Следовательно, $\cos 0 = 1$.
Ответ: 1

в) Углу в $90^\circ$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Значение синуса - это ордината этой точки. Следовательно, $\sin 90^\circ = 1$.
Ответ: 1

г) Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан равен $90^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Значение косинуса - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: 0

д) Углу в $180^\circ$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Значение синуса - это ордината этой точки. Следовательно, $\sin 180^\circ = 0$.
Ответ: 0

е) Угол $\pi$ радиан равен $180^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Значение косинуса - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \pi = -1$.
Ответ: -1

ж) Углу в $270^\circ$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Значение синуса - это ордината этой точки. Следовательно, $\sin 270^\circ = -1$.
Ответ: -1

з) Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан равен $270^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Значение косинуса - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
Ответ: 0

и) Угол $2\pi$ радиан равен $360^\circ$, что соответствует полному обороту и совпадает с углом $0^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Значение синуса - это ордината этой точки. Следовательно, $\sin 2\pi = 0$.
Ответ: 0

к) Угол $360^\circ$ соответствует полному обороту и совпадает с углом $0^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Значение косинуса - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos 360^\circ = 1$.
Ответ: 1

л) Угол 0 радиан совпадает с углом $0^\circ$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Значение синуса - это ордината этой точки. Следовательно, $\sin 0 = 0$.
Ответ: 0

м) Углу в $0^\circ$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Значение косинуса - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos 0^\circ = 1$.
Ответ: 1