Страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.1° В каком случае говорят, что задана функция $y = \sin x$ числового аргумента $x$?

Говорят, что задана функция $y = \sin x$ числового аргумента $x$, когда установлен закон (правило), по которому каждому действительному числу $x$ сопоставляется единственное значение $y$. Для тригонометрических функций, в том числе и для синуса, этот закон определяется с помощью единичной окружности.

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом, равным 1. Такую окружность называют единичной. За начальную точку отсчета на этой окружности принимается точка $P_0(1, 0)$, которая находится на пересечении окружности с положительной полуосью абсцисс.

Каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие точка $P_x$ на единичной окружности. Эта точка получается в результате поворота начальной точки $P_0$ вокруг центра окружности на угол, радианная мера которого равна $x$. Если $x > 0$, поворот совершается против часовой стрелки. Если $x < 0$, поворот совершается по часовой стрелке на угол величиной $|x|$ радиан.

Ординату (координату $y$) полученной в результате такого поворота точки $P_x$ называют синусом числа $x$ и обозначают $\sin x$. (Абсциссу, то есть координату $x$, точки $P_x$ называют косинусом числа $x$ и обозначают $\cos x$).

Следовательно, функция $y = \sin x$ устанавливает соответствие между числом $x$ (величиной угла в радианах) и ординатой соответствующей точки на единичной окружности.

Ответ: Говорят, что задана функция $y=\sin x$ числового аргумента $x$, если каждому действительному числу $x$ поставлено в соответствие число $y$, которое равно ординате точки единичной окружности, полученной в результате поворота начальной точки $(1, 0)$ на угол в $x$ радиан.

10.2° Сформулируйте свойства функции $y = \sin x$.

1. Область определения

Функция $y=\sin x$ определена для любого действительного значения аргумента $x$, так как синус можно вычислить для любого числа, представляющего собой угол.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений

Значения синуса любого угла лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения синуса через единичную окружность, где синус — это ордината точки на окружности, радиус которой равен 1.

Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность

Функция является нечетной, так как для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$).

Ответ: Функция нечетная.

4. Периодичность

Функция является периодической. Ее значения повторяются через определенный интервал. Для любого $x$ из области определения и любого целого $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$. Наименьший положительный период функции называется главным периодом.

Ответ: Функция периодическая с главным периодом $T = 2\pi$.

5. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения, когда угол $x$ соответствует точкам пересечения единичной окружности с осью абсцисс.

Ответ: $y=0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Знак синуса зависит от координатной четверти, в которой находится угол.

Функция положительна ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти.

Функция отрицательна ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти.

Ответ:

$y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)

Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

Функция возрастает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. На графике это соответствует движению "вверх" слева направо.

Функция убывает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. На графике это соответствует движению "вниз" слева направо.

Ответ:

Функция возрастает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на каждом из промежутков вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума и экстремумы функции

Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции. Точки экстремума — это значения $x$, в которых эти экстремумы достигаются.

Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках, где возрастание сменяется убыванием.

Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках, где убывание сменяется возрастанием.

Ответ:

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции (максимум): $y_{max} = 1$.

Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). Минимальное значение функции (минимум): $y_{min} = -1$.

9. Непрерывность и ограниченность

График функции $y=\sin x$ (синусоида) является сплошной линией без разрывов. Функция ограничена, так как все ее значения принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения ($\mathbb{R}$) и ограничена.

10.3 a) Постройте график функции $y = \sin x$ по точкам на отрезке $[0; \pi]$.

б) Относительно какой прямой симметричен график функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$?

а) Постройте график функции y = sin x по точкам на отрезке [0; π].

Для построения графика функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ необходимо вычислить значения функции для нескольких характерных точек на этом интервале. Составим таблицу значений:

После вычисления значений, нужно нанести полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость. Затем эти точки соединяются плавной кривой. В результате получается график, представляющий собой верхнюю полуволну синусоиды (арку), которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает своего максимума $y=1$ в точке $x = \pi/2$ и опускается до $y=0$ в точке $x = \pi$.

Ответ: Для построения графика вычисляются значения функции в ключевых точках (представлены в таблице), которые затем наносятся на координатную плоскость и соединяются плавной кривой, образуя арку с вершиной в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$.

б) Относительно какой прямой симметричен график функции y = sin x на отрезке [0; π]?

Чтобы определить ось симметрии графика функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$, проанализируем значения функции. Как видно из таблицы в пункте а), значения синуса для углов, симметричных относительно $\pi/2$, равны. Например, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Это можно доказать, используя формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$. Эта формула показывает, что функция принимает одинаковые значения в точках $x$ и $\pi - x$.

Две точки $x_1 = x$ и $x_2 = \pi - x$ на оси абсцисс равноудалены от точки $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x + (\pi - x)}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку для любой точки $(x, \sin x)$ на графике существует точка $(\pi - x, \sin(\pi - x))$, которая благодаря тождеству равна $(\pi - x, \sin x)$ и также лежит на графике, то график функции симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку $x_c = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{2}$.

10.4 a) Является ли функция $y = \sin x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \sin x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \sin x, x \in [-\pi; \pi]$, положительна? отрицательна?

а) Чтобы определить, является ли функция $y = \sin x$ чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение следующих условий для любого $x$ из области определения функции.

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, является симметричной относительно нуля.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \sin(-x)$.

Известно тригонометрическое свойство синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $y(-x) = -\sin(x) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Условие для чётной функции $y(-x) = y(x)$ не выполняется (например, для $x = \pi/2$, $\sin(-\pi/2) = -1$, а $\sin(\pi/2) = 1$, то есть $y(-x) \neq y(x)$).

Ответ: Функция $y = \sin x$ является нечётной.

б) Свойство графика нечётной функции заключается в том, что он симметричен относительно начала координат, то есть точки $(0; 0)$. Это означает, что если точка с координатами $(a; b)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-a; -b)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: График функции $y = \sin x$ симметричен относительно начала координат.

в) Чтобы построить график функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя свойство нечётности (симметрии относительно начала координат), мы можем сначала построить его на отрезке $[0; \pi]$, а затем симметрично отразить относительно точки $(0; 0)$ для получения части графика на отрезке $[-\pi; 0]$.

1. Построение на отрезке $[0; \pi]$. Найдём несколько ключевых точек:

• При $x=0$, $y = \sin 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=\pi/2$, $y = \sin(\pi/2) = 1$. Точка $(\pi/2; 1)$ - это точка максимума на данном отрезке.
• При $x=\pi$, $y = \sin \pi = 0$. Точка $(\pi; 0)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим арку, выпуклую вверх.

2. Построение на отрезке $[-\pi; 0]$. Используем свойство симметрии. Каждой точке $(x; y)$ на построенной части графика будет соответствовать точка $(-x; -y)$ на второй части графика:

• Точке $(\pi/2; 1)$ соответствует точка $(-\pi/2; -1)$.
• Точке $(\pi; 0)$ соответствует точка $(-\pi; 0)$.
• Точка $(0; 0)$ является центром симметрии и отображается сама на себя.

Соединив точки $(-\pi; 0)$, $(-\pi/2; -1)$ и $(0; 0)$ плавной линией, получим арку, выпуклую вниз.

Ответ: График функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$ представляет собой волну, проходящую через начало координат. На отрезке $[0; \pi]$ это выпуклая вверх кривая, идущая от $(0; 0)$ через максимум в точке $(\pi/2; 1)$ к точке $(\pi; 0)$. На отрезке $[-\pi; 0]$ это симметричная ей относительно начала координат выпуклая вниз кривая, идущая от $(-\pi; 0)$ через минимум в точке $(-\pi/2; -1)$ к точке $(0; 0)$.

г) Для определения знаков функции на отрезке $x \in [-\pi; \pi]$ обратимся к построенному графику или к тригонометрическому кругу.

Функция положительна ($y>0$), когда её график находится выше оси абсцисс (оси Ox). Из графика, построенного в пункте (в), видно, что это происходит на интервале от $0$ до $\pi$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда её график находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале от $-\pi$ до $0$.

В точках $x = -\pi, x = 0, x = \pi$ значение функции равно нулю.

Ответ: Функция положительна на промежутке $(0; \pi)$ и отрицательна на промежутке $(-\pi; 0)$.

10.5°

a) Какую функцию называют периодической?

б) Является ли периодом функции $y = \sin x$ число: $0, \pi, -\pi, 2\pi, -2\pi, 3\pi, -3\pi, 4\pi, -4\pi$?

в) Каков главный период функции $y = \sin x$?

г) Какое свойство графика функции $y = \sin x$ следует из периодичности этой функции?

д) Как называют график функции $y = \sin x$?

а) Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняются равенства $f(x - T) = f(x) = f(x + T)$. Это число $T$ называют периодом функции.
Ответ: Периодической называют функцию, значения которой циклически повторяются через определенный ненулевой интервал (период).

б) Чтобы число $T$ было периодом функции $y = \sin x$, оно должно быть отличным от нуля и для любого $x$ должно выполняться равенство $\sin(x + T) = \sin x$.
- Число $0$ не является периодом по определению.
- Для $T = \pi$ и $T = -\pi$: $\sin(x \pm \pi) = -\sin x$, что не равно $\sin x$ (кроме случаев, когда $\sin x = 0$). Следовательно, $\pi$ и $-\pi$ не являются периодами.
- Для $T = 3\pi$ и $T = -3\pi$: $\sin(x \pm 3\pi) = \sin(x \pm \pi) = -\sin x$, поэтому $3\pi$ и $-3\pi$ также не являются периодами.
- Для $T = 2\pi k$, где $k$ - любое целое, не равное нулю, равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$ выполняется. Числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$ соответствуют значениям $k=1, -1, 2, -2$. Следовательно, они являются периодами.
Ответ: Являются периодами: $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$. Не являются периодами: $0, \pi, -\pi, 3\pi, -3\pi$.

в) Главным (или основным) периодом функции называется ее наименьший положительный период. Для функции $y = \sin x$ все периоды имеют вид $T = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$. Наименьшим положительным значением из этого множества является $2\pi$ (при $k=1$).
Ответ: $2\pi$.

г) Из периодичности функции $y = \sin x$ следует, что ее график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей. Для построения всего графика достаточно построить его на любом отрезке длиной, равной главному периоду $2\pi$ (например, на отрезке $[0; 2\pi]$), а затем сдвинуть (параллельно перенести) этот фрагмент вдоль оси абсцисс на $2\pi k$ влево и вправо, где $k$ - любое целое число.
Ответ: График функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов, и его можно получить параллельным переносом части графика с любого отрезка длиной $2\pi$ вдоль оси $Ox$.

д) График функции $y = \sin x$ имеет специальное общепринятое название.
Ответ: Синусоида.

10.6 Определите промежутки возрастания (убывания) функции

$y = \sin x$ на отрезке:

a) $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$;

б) $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$;

в) $[-\pi; \pi]$;

г) $[0; 2\pi]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = \sin x$ используется ее производная.
$y' = (\sin x)' = \cos x$.
Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает, где производная отрицательна ($y' < 0$).
1. Промежутки возрастания ($ \cos x > 0 $): $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Промежутки убывания ($ \cos x < 0 $): $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем эти промежутки для каждого заданного отрезка.

а) Рассматриваем отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это соответствует промежутку убывания при $k=0$: $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Далее, функция возрастает, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{5\pi}{2}$. Это соответствует промежутку возрастания при $k=1$: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

б) Рассматриваем отрезок $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция возрастает, когда $x$ изменяется от $-\frac{5\pi}{2}$ до $-\frac{3\pi}{2}$. Это соответствует промежутку возрастания при $k=-1$: $[-\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$.
Далее, функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\frac{3\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{2}$. Это соответствует промежутку убывания при $k=-1$: $[\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{3\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

в) Рассматриваем отрезок $[-\pi, \pi]$.
На этом отрезке функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$. Это часть промежутка убывания при $k=-1$.
Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Это промежуток возрастания при $k=0$.
Функция снова убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Это часть промежутка убывания при $k=0$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

г) Рассматриваем отрезок $[0, 2\pi]$.
На этом отрезке функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Это часть промежутка возрастания при $k=0$.
Функция убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это промежуток убывания при $k=0$.
Функция снова возрастает, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Это часть промежутка возрастания при $k=1$.
Ответ: функция возрастает на отрезках $[0, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

10.7 Сравните:

а) $\sin\frac{\pi}{7}$ и $\sin\frac{3\pi}{7}$;

б) $\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)$ и $\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right)$;

в) $\sin\frac{\pi}{15}$ и $\sin\left(-\frac{7\pi}{15}\right)$;

г) $\sin\frac{3\pi}{5}$ и $\sin\frac{4\pi}{5}$;

д) $\sin\frac{7\pi}{12}$ и $\sin\frac{11\pi}{12}$;

е) $\sin\frac{8\pi}{9}$ и $\sin\frac{7\pi}{9}$.

а) Для сравнения $ \sin\frac{\pi}{7} $ и $ \sin\frac{3\pi}{7} $ рассмотрим их аргументы. Оба угла, $ \frac{\pi}{7} $ и $ \frac{3\pi}{7} $, находятся в интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, так как $ 0 < \frac{1}{7} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $ \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7} $, то $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{3\pi}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{3\pi}{7} $.

б) Аргументы $ -\frac{\pi}{8} $ и $ -\frac{3\pi}{8} $ принадлежат интервалу $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $. Этот интервал является частью промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает. Сравним аргументы: $ -\frac{3\pi}{8} < -\frac{\pi}{8} $. Так как функция на этом промежутке возрастает, то $ \sin(-\frac{3\pi}{8}) < \sin(-\frac{\pi}{8}) $.
Ответ: $ \sin(-\frac{\pi}{8}) > \sin(-\frac{3\pi}{8}) $.

в) Определим знаки сравниваемых выражений. Угол $ \frac{\pi}{15} $ находится в первой четверти ($ 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2} $), поэтому $ \sin\frac{\pi}{15} > 0 $. Угол $ -\frac{7\pi}{15} $ находится в четвертой четверти ($ -\frac{\pi}{2} < -\frac{7\pi}{15} < 0 $), поэтому $ \sin(-\frac{7\pi}{15}) < 0 $. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно $ \sin\frac{\pi}{15} > \sin(-\frac{7\pi}{15}) $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{15} > \sin(-\frac{7\pi}{15}) $.

г) Аргументы $ \frac{3\pi}{5} $ и $ \frac{4\pi}{5} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{1}{2} = \frac{2.5}{5} < \frac{3}{5} < \frac{4}{5} < 1 $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $ \frac{3\pi}{5} < \frac{4\pi}{5} $, то $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{4\pi}{5} $.
Ответ: $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{4\pi}{5} $.

д) Аргументы $ \frac{7\pi}{12} $ и $ \frac{11\pi}{12} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ убывает. Поскольку $ \frac{7\pi}{12} < \frac{11\pi}{12} $, то для значений синусов неравенство будет обратным: $ \sin\frac{7\pi}{12} > \sin\frac{11\pi}{12} $.
Ответ: $ \sin\frac{7\pi}{12} > \sin\frac{11\pi}{12} $.

е) Аргументы $ \frac{8\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{9} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ убывает. Поскольку $ \frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} $, то $ \sin\frac{7\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{8\pi}{9} < \sin\frac{7\pi}{9} $.