Номер 10.6, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.1. Функция y=sinx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.6, страница 284.

10.6 Определите промежутки возрастания (убывания) функции

$y = \sin x$ на отрезке:

a) $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$;

б) $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$;

в) $[-\pi; \pi]$;

г) $[0; 2\pi]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = \sin x$ используется ее производная.
$y' = (\sin x)' = \cos x$.
Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает, где производная отрицательна ($y' < 0$).
1. Промежутки возрастания ($ \cos x > 0 $): $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Промежутки убывания ($ \cos x < 0 $): $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем эти промежутки для каждого заданного отрезка.

а) Рассматриваем отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это соответствует промежутку убывания при $k=0$: $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Далее, функция возрастает, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{5\pi}{2}$. Это соответствует промежутку возрастания при $k=1$: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

б) Рассматриваем отрезок $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция возрастает, когда $x$ изменяется от $-\frac{5\pi}{2}$ до $-\frac{3\pi}{2}$. Это соответствует промежутку возрастания при $k=-1$: $[-\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$.
Далее, функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\frac{3\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{2}$. Это соответствует промежутку убывания при $k=-1$: $[\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{3\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

в) Рассматриваем отрезок $[-\pi, \pi]$.
На этом отрезке функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$. Это часть промежутка убывания при $k=-1$.
Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Это промежуток возрастания при $k=0$.
Функция снова убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Это часть промежутка убывания при $k=0$.
Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

г) Рассматриваем отрезок $[0, 2\pi]$.
На этом отрезке функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Это часть промежутка возрастания при $k=0$.
Функция убывает, когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это промежуток убывания при $k=0$.
Функция снова возрастает, когда $x$ изменяется от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Это часть промежутка возрастания при $k=1$.
Ответ: функция возрастает на отрезках $[0, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.