Номер 10.13, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.2. Функции y=cosx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.13, страница 287.

10.13 а) Является ли функция $y = \cos x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \cos x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \cos x, x \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$, положительна? отрицательна?

а)

Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = \cos x$. Область её определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия для чётной функции. Пусть $f(x) = \cos x$. Тогда:

$f(-x) = \cos(-x)$

Известно свойство косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно:

$\cos(-x) = \cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, что соответствует определению чётной функции.

Ответ: функция $y = \cos x$ является чётной.

б)

Из того, что функция $y = \cos x$ является чётной, следует, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0; y_0)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: график функции $y = \cos x$ симметричен относительно оси $Oy$.

в)

Чтобы построить график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, можно использовать свойство её чётности (симметрию относительно оси $Oy$).

1. Сначала построим график на неотрицательной части отрезка, то есть на $[0; \pi]$. Для этого найдём значения функции в нескольких ключевых точках:
- при $x = 0$, $y = \cos 0 = 1$;
- при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos \frac{\pi}{2} = 0$;
- при $x = \pi$, $y = \cos \pi = -1$.
На отрезке $[0; \pi]$ функция убывает от 1 до -1, проходя через ноль в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

2. Теперь используем свойство симметрии. Отразим построенную часть графика относительно оси $Oy$, чтобы получить его на отрезке $[-\pi; 0]$.
- Точка $(\pi; -1)$ отразится в точку $(-\pi; -1)$.
- Точка $(\frac{\pi}{2}; 0)$ отразится в точку $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.
- Точка $(0; 1)$ останется на месте, так как лежит на оси симметрии.
На отрезке $[-\pi; 0]$ функция возрастает от -1 до 1.

В результате мы получаем одну полную волну косинусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, -1)$, поднимается до максимума в точке $(0, 1)$ и опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$.

Ответ: для построения графика на отрезке $[-\pi; \pi]$ нужно построить его на отрезке $[0; \pi]$ и симметрично отразить относительно оси $Oy$. График представляет собой кривую, проходящую через точки $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

г)

Нужно определить знаки функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Функция положительна, когда её график находится выше оси абсцисс ($Ox$), то есть $\cos x > 0$. На единичной окружности это соответствует углам в I и IV четвертях. В пределах заданного промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ это происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ функция равна нулю.

Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси абсцисс ($Ox$), то есть $\cos x < 0$. На единичной окружности это соответствует углам во II и III четвертях. В пределах заданного промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ это происходит на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. В точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$ функция равна нулю.

Ответ: на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ положительна при $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.