Номер 10.33, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.4. Функция y=ctgx - номер 10.33, страница 295.

Условие.

10.33* Постройте график функции:

а) $y = |\cot x|$;

б) $y = \cot |x|$;

в) $y = \cot x \sin x$;

г) $y = \cot (\pi - x)$;

д) $y = \cot x + 1$;

е) $y = |\cot x + 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x|$, необходимо выполнить следующие преобразования графика $y = \operatorname{ctg} x$:

1. Сначала строим график основной функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это периодическая функция с периодом $\pi$. Её область определения — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты. Функция пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2. Далее применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |f(x)|$. Геометрически это означает, что все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно этой оси вверх. Части графика, которые уже находятся выше или на оси абсцисс, остаются на своих местах.
3. У функции $y = \operatorname{ctg} x$ отрицательные значения находятся на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Именно эти участки графика нужно отразить.

В результате мы получим график, который целиком расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ и нули функции $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ сохраняются. Период функции также остается равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox тех его частей, которые расположены ниже этой оси.

б) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} |x|$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Применяем преобразование модуля к аргументу: $y = f(|x|)$. Это преобразование выполняется так:
   • Часть графика, соответствующая $x \ge 0$, остается без изменений.
   • Часть графика, соответствующая $x < 0$, удаляется.
   • Оставшаяся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси ординат (оси Oy).

В итоге получается четная функция, график которой симметричен относительно оси Oy. Область определения функции: $|x| \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Так как $|x| \ge 0$, то $x \neq \pi k$ для любого целого $k$. Вертикальные асимптоты будут в точках $x = \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} |x|$ строится так: строится ветвь графика $y = \operatorname{ctg} x$ для $x > 0$, а затем эта ветвь симметрично отражается относительно оси Oy.

в) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x \sin x$, сначала упростим выражение:

$y = \operatorname{ctg} x \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x$

При упрощении важно учесть область определения исходной функции. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ не определена в точках, где $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция эквивалентна $y = \cos x$ при условии, что $x \neq \pi k$.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. На этом графике "выкалываем" (удаляем) точки, абсциссы которых равны $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Координаты выколотых точек: $(\pi k, \cos(\pi k)) = (\pi k, (-1)^k)$. Например, это точки $(0, 1)$, $(\pi, -1)$, $(2\pi, 1)$, $(-\pi, -1)$ и так далее.

Ответ: Графиком функции является график $y = \cos x$ с выколотыми точками вида $(\pi k, (-1)^k)$ при всех целых $k$.

г) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(\pi - x)$, можно использовать формулы приведения.

Согласно формуле приведения для котангенса, $\operatorname{ctg}(\pi - x) = -\operatorname{ctg} x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\operatorname{ctg} x$.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Применяем преобразование $y = -f(x)$, что соответствует симметричному отражению графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

В результате каждая ветвь котангенсоиды, которая убывала, станет возрастающей. Асимптоты и нули функции останутся на прежних местах ($x=\pi k$ и $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ соответственно).

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\operatorname{ctg} x$, который получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ симметричным отражением относительно оси Ox.

д) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, нужно выполнить преобразование сдвига.

Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c=1$. Оно соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $c$ единиц.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Сдвигаем весь график на 1 единицу вверх.

Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ останутся без изменений. Ось Ox, которую график $y = \operatorname{ctg} x$ пересекал в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, теперь сместится на линию $y = 1$. Новые нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $\operatorname{ctg} x + 1 = 0$, то есть $\operatorname{ctg} x = -1$, откуда $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ параллельным переносом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

е) Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x + 1|$, нужно выполнить последовательность преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, как это было описано в предыдущем пункте (сдвигом графика $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх).
2. Затем к полученному графику применяем операцию взятия модуля: $y = |g(x)|$, где $g(x) = \operatorname{ctg} x + 1$. Как и в пункте а), это означает, что все части графика, расположенные ниже оси Ox, отражаются симметрично относительно этой оси.
3. Определим, где $g(x) < 0$: $\operatorname{ctg} x + 1 < 0 \implies \operatorname{ctg} x < -1$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Именно эти участки графика $y = \operatorname{ctg} x + 1$ нужно отразить вверх.

В результате получится график, который целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ сохраняются. Точки, где график касался оси Ox, — это нули функции $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x + 1|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x + 1$ путем симметричного отражения относительно оси Ox тех его частей, которые расположены ниже этой оси.