Номер 11.4, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.1. Простейшие тригонометрические уравнения - номер 11.4, страница 299.

Условие.

11.4 a) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

б) $tg x = \sqrt{3}$;

в) $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $tg x = -\sqrt{3}$;

д) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

е) $ctg x = \sqrt{3}$;

ж) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $ctg x = -\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решение уравнения вида $tg x = a$ находится по общей формуле $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \Z$.
В данном случае $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Арктангенс этого значения является табличным: $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

б) Решаем уравнение $tg x = \sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = \sqrt{3}$. Табличное значение $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

в) Решаем уравнение $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство арктангенса: $arctg(-a) = -arctg(a)$.
$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

г) Решаем уравнение $tg x = -\sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$.
$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

д) Решение уравнения вида $ctg x = a$ находится по общей формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \Z$.
В данном случае $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Арккотангенс этого значения является табличным: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

е) Решаем уравнение $ctg x = \sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = \sqrt{3}$. Табличное значение $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

ж) Решаем уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство арккотангенса: $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Решение уравнения:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

з) Решаем уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Решение уравнения:
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.