Номер 11.8, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим - номер 11.8, страница 302.

Условие.

Решите уравнение (11.8—11.14):

11.8

а) $ \sin x (\sin x + 1) = 0; $

б) $ \cos x (\cos x - 1) = 0; $

в) $ \sin^2 x - \sin x = 0; $

г) $ \cos^2 x + \cos x = 0; $

д) $ \tan^2 x - \tan x = 0; $

е) $ \tan^2 x + \tan x = 0; $

ж) $ \cot^2 x - \cot x = 0; $

з) $ \cot^2 x + \cot x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Данное уравнение $sin x (sin x + 1) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x + 1 = 0$, что равносильно $sin x = -1$. Решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединив решения обоих случаев, получаем полный ответ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Уравнение $cos x (cos x - 1) = 0$ также распадается на два уравнения:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x - 1 = 0$, что равносильно $cos x = 1$. Решения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем полученные серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в) В уравнении $sin^2 x - sin x = 0$ вынесем общий множитель $sin x$ за скобки: $sin x (sin x - 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x - 1 = 0$, что равносильно $sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) В уравнении $cos^2 x + cos x = 0$ вынесем общий множитель $cos x$ за скобки: $cos x (cos x + 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x + 1 = 0$, что равносильно $cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pi + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

д) В уравнении $tg^2 x - tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: $cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $tg x - 1 = 0$, что равносильно $tg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

е) В уравнении $tg^2 x + tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $tg x + 1 = 0$, что равносильно $tg x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

ж) В уравнении $ctg^2 x - ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для котангенса: $sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $ctg x - 1 = 0$, что равносильно $ctg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

з) В уравнении $ctg^2 x + ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $ctg x + 1 = 0$, что равносильно $ctg x = -1$. Решения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.