Номер 11.8, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.8, страница 302.
№11.8 (с. 302)
Условие. №11.8 (с. 302)
скриншот условия

Решите уравнение (11.8—11.14):
11.8
а) $ \sin x (\sin x + 1) = 0; $
б) $ \cos x (\cos x - 1) = 0; $
в) $ \sin^2 x - \sin x = 0; $
г) $ \cos^2 x + \cos x = 0; $
д) $ \tan^2 x - \tan x = 0; $
е) $ \tan^2 x + \tan x = 0; $
ж) $ \cot^2 x - \cot x = 0; $
з) $ \cot^2 x + \cot x = 0. $
Решение 1. №11.8 (с. 302)








Решение 2. №11.8 (с. 302)

Решение 3. №11.8 (с. 302)

Решение 4. №11.8 (с. 302)


Решение 5. №11.8 (с. 302)
а) Данное уравнение $sin x (sin x + 1) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x + 1 = 0$, что равносильно $sin x = -1$. Решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединив решения обоих случаев, получаем полный ответ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
б) Уравнение $cos x (cos x - 1) = 0$ также распадается на два уравнения:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x - 1 = 0$, что равносильно $cos x = 1$. Решения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем полученные серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
в) В уравнении $sin^2 x - sin x = 0$ вынесем общий множитель $sin x$ за скобки: $sin x (sin x - 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x - 1 = 0$, что равносильно $sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
г) В уравнении $cos^2 x + cos x = 0$ вынесем общий множитель $cos x$ за скобки: $cos x (cos x + 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x + 1 = 0$, что равносильно $cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pi + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
д) В уравнении $tg^2 x - tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: $cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $tg x - 1 = 0$, что равносильно $tg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
е) В уравнении $tg^2 x + tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $tg x + 1 = 0$, что равносильно $tg x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
ж) В уравнении $ctg^2 x - ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для котангенса: $sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $ctg x - 1 = 0$, что равносильно $ctg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
з) В уравнении $ctg^2 x + ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $ctg x + 1 = 0$, что равносильно $ctg x = -1$. Решения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.8 расположенного на странице 302 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.8 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.