Номер 11.3, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.3, страница 299.
№11.3 (с. 299)
Условие. №11.3 (с. 299)
скриншот условия

11.3 а) $sin x = \frac{1}{2}$;
б) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
в) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
г) $sin x = -\frac{1}{2}$;
д) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
е) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
ж) $cos x = \frac{1}{2}$;
з) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
и) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
к) $cos x = -\frac{1}{2}$;
л) $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
м) $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение 1. №11.3 (с. 299)












Решение 2. №11.3 (с. 299)

Решение 3. №11.3 (с. 299)


Решение 4. №11.3 (с. 299)


Решение 5. №11.3 (с. 299)
а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем ту же общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общая формула $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
е) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
ж) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для этого числа является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
з) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
и) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
к) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
л) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
м) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.3 расположенного на странице 299 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.3 (с. 299), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.