Номер 11.3, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.1. Простейшие тригонометрические уравнения - номер 11.3, страница 299.

Условие.

11.3 а) $sin x = \frac{1}{2}$;

б) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin x = -\frac{1}{2}$;

д) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $cos x = \frac{1}{2}$;

з) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $cos x = -\frac{1}{2}$;

л) $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем ту же общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общая формула $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для этого числа является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

к) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

л) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

м) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.