Номер 11.2, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.1. Простейшие тригонометрические уравнения - номер 11.2, страница 299.

Условие.

Решите уравнение (11.2—11.6):

11.2

а) $sin x = 1$;

б) $sin x = -1$;

в) $sin x = 0;

г) $cos x = 1$;

д) $cos x = -1$;

е) $cos x = 0;

ж) $tg x = 1$;

з) $tg x = -1$;

и) $tg x = 0;

к) $ctg x = 1$;

л) $ctg x = -1$;

м) $ctg x = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Уравнение $\sin x = 1$ является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения можно записать с помощью формулы $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Уравнение $\sin x = -1$ является частным случаем. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности. Период функции синуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Уравнение $\sin x = 0$ является частным случаем. Синус равен нулю в точках, соответствующих углам $0$ и $\pi$ на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полуоборот, то есть через $\pi$. Следовательно, все решения описываются формулой $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Уравнение $\cos x = 1$ является частным случаем. Косинус равен единице в точке, соответствующей углу $0$ на единичной окружности. Период функции косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = 0 + 2\pi n$, или просто $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Уравнение $\cos x = -1$ является частным случаем. Косинус равен минус единице в точке, соответствующей углу $\pi$ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), все решения можно найти по формуле $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Уравнение $\cos x = 0$ является частным случаем. Косинус равен нулю в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности. Эти точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полуоборот ($\pi$). Таким образом, общее решение можно записать как $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Для решения уравнения $\text{tg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{tg } x = a$: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арктангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции тангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $\text{tg } x = -1$ применяем ту же общую формулу $x = \text{arctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Арктангенс минус единицы равен $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Уравнение $\text{tg } x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$ при условии, что $\cos x \neq 0$. Решением уравнения $\sin x = 0$ является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Для решения уравнения $\text{ctg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{ctg } x = a$: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арккотангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции котангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $\text{ctg } x = -1$ применяем общую формулу $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Главное значение арккотангенса минус единицы (в интервале $(0, \pi)$) равно $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Уравнение $\text{ctg } x = 0$ равносильно уравнению $\cos x = 0$ при условии, что $\sin x \neq 0$. Решением уравнения $\cos x = 0$ является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.