Номер 11.2, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.2, страница 299.
№11.2 (с. 299)
Условие. №11.2 (с. 299)
скриншот условия

Решите уравнение (11.2—11.6):
11.2
а) $sin x = 1$;
б) $sin x = -1$;
в) $sin x = 0;
г) $cos x = 1$;
д) $cos x = -1$;
е) $cos x = 0;
ж) $tg x = 1$;
з) $tg x = -1$;
и) $tg x = 0;
к) $ctg x = 1$;
л) $ctg x = -1$;
м) $ctg x = 0.
Решение 1. №11.2 (с. 299)












Решение 2. №11.2 (с. 299)

Решение 3. №11.2 (с. 299)

Решение 4. №11.2 (с. 299)

Решение 5. №11.2 (с. 299)
а) Уравнение $\sin x = 1$ является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения можно записать с помощью формулы $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Уравнение $\sin x = -1$ является частным случаем. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности. Период функции синуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) Уравнение $\sin x = 0$ является частным случаем. Синус равен нулю в точках, соответствующих углам $0$ и $\pi$ на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полуоборот, то есть через $\pi$. Следовательно, все решения описываются формулой $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) Уравнение $\cos x = 1$ является частным случаем. Косинус равен единице в точке, соответствующей углу $0$ на единичной окружности. Период функции косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = 0 + 2\pi n$, или просто $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
д) Уравнение $\cos x = -1$ является частным случаем. Косинус равен минус единице в точке, соответствующей углу $\pi$ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), все решения можно найти по формуле $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
е) Уравнение $\cos x = 0$ является частным случаем. Косинус равен нулю в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности. Эти точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полуоборот ($\pi$). Таким образом, общее решение можно записать как $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
ж) Для решения уравнения $\text{tg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{tg } x = a$: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арктангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции тангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
з) Для уравнения $\text{tg } x = -1$ применяем ту же общую формулу $x = \text{arctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Арктангенс минус единицы равен $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
и) Уравнение $\text{tg } x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$ при условии, что $\cos x \neq 0$. Решением уравнения $\sin x = 0$ является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
к) Для решения уравнения $\text{ctg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{ctg } x = a$: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арккотангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции котангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
л) Для уравнения $\text{ctg } x = -1$ применяем общую формулу $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Главное значение арккотангенса минус единицы (в интервале $(0, \pi)$) равно $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
м) Уравнение $\text{ctg } x = 0$ равносильно уравнению $\cos x = 0$ при условии, что $\sin x \neq 0$. Решением уравнения $\cos x = 0$ является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.2 расположенного на странице 299 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.2 (с. 299), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.