Страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.24 Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени? Приведите примеры.

Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x) = 0$

Здесь $x$ — неизвестная переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем предполагается, что они не равны нулю одновременно ($a \neq 0$ или $b \neq 0$). Если $a \neq 0$ и $b \neq 0$, уравнение решается специальным методом. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение становится простейшим ($a \sin(x) = 0$ или $b \cos(x) = 0$).

Ключевая особенность такого уравнения в том, что все его слагаемые имеют одинаковую (первую) степень относительно тригонометрических функций $\sin(x)$ и $\cos(x)$, а свободный член равен нулю.

Стандартный метод решения таких уравнений (при $a \neq 0$ и $b \neq 0$) заключается в делении обеих частей уравнения на $\cos(x)$. Это преобразование является равносильным и не приводит к потере корней. Обоснуем это: если бы $\cos(x) = 0$, то из исходного уравнения $a \sin(x) + b \cdot 0 = 0$ следовало бы, что $a \sin(x) = 0$. Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, то должно быть $\sin(x) = 0$. Однако, $\sin(x)$ и $\cos(x)$ не могут быть равны нулю для одного и того же значения $x$, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Следовательно, в корнях данного уравнения $\cos(x)$ не может быть равен нулю, и на него можно делить.

После деления на $\cos(x)$ получаем:
$a \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + b \cdot \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$a \cdot \tan(x) + b = 0$

Это уравнение является простейшим алгебраическим уравнением относительно $\tan(x)$. Выражая тангенс, получаем:
$\tan(x) = -\frac{b}{a}$
откуда находится решение для $x$.

Приведите примеры.

Пример 1. Уравнение $\sin(x) + \cos(x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени с коэффициентами $a=1$ и $b=1$. Разделим обе части на $\cos(x) \neq 0$:
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$\tan(x) + 1 = 0$
$\tan(x) = -1$
Решением является $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2. Уравнение $\sqrt{3}\sin(x) - \cos(x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени с коэффициентами $a=\sqrt{3}$ и $b=-1$. Разделим обе части на $\cos(x) \neq 0$:
$\sqrt{3}\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$\sqrt{3}\tan(x) - 1 = 0$
$\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Решением является $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3. Уравнение $5\sin(3x) = 2\cos(3x)$.
Это уравнение также является однородным, так как его можно переписать в виде $5\sin(3x) - 2\cos(3x) = 0$. Аргументом тригонометрических функций здесь является $3x$, но структура уравнения та же. Решение проводится аналогично путем деления на $\cos(3x)$.

11.25* Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением степени $n$? Приведите примеры.

Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением степени n?

Однородным тригонометрическим уравнением степени $n$ относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$ называют уравнение вида:$a_n \sin^n(x) + a_{n-1} \sin^{n-1}(x)\cos(x) + \dots + a_1 \sin(x)\cos^{n-1}(x) + a_0 \cos^n(x) = 0$,где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — действительные числа, и хотя бы один из коэффициентов $a_n$ или $a_0$ не равен нулю.

Главной характеристикой такого уравнения является то, что сумма показателей степеней у $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в каждом его слагаемом одинакова и равна $n$.

Стандартный метод решения таких уравнений (при $a_n \neq 0$) заключается в делении обеих частей уравнения на $\cos^n(x)$. Такое деление является корректным, так как оно не приводит к потере корней. Если предположить, что $\cos(x) = 0$, то из уравнения следует $a_n \sin^n(x) = 0$. Так как при $\cos(x) = 0$ значение $\sin(x)$ равно $1$ или $-1$, то мы получаем $a_n (\pm 1)^n = 0$, что влечет за собой $a_n = 0$. Это противоречит начальному предположению, что старший коэффициент не нулевой. Следовательно, для таких уравнений $\cos(x) \neq 0$.

После деления на $\cos^n(x)$ уравнение преобразуется в алгебраическое уравнение степени $n$ относительно $\tan(x)$:$a_n \tan^n(x) + a_{n-1} \tan^{n-1}(x) + \dots + a_1 \tan(x) + a_0 = 0$.Это уравнение решается заменой $t = \tan(x)$.

Примеры

1. Уравнение первой степени ($n=1$):Общий вид: $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$.Например, уравнение $\sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) = 0$.Разделив обе части на $\cos(x)$, получим:$\tan(x) - \sqrt{3} = 0 \implies \tan(x) = \sqrt{3}$.Решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Уравнение второй степени ($n=2$):Общий вид: $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$.Например, $3\sin^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 0$.Разделим обе части на $\cos^2(x)$:$3\tan^2(x) - 4\tan(x) + 1 = 0$.Это квадратное уравнение относительно $t = \tan(x)$. Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{3}$.Следовательно, получаем два семейства решений:$\tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$\tan(x) = \frac{1}{3} \implies x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3. Уравнение, сводимое к однородному:Некоторые уравнения можно привести к однородному виду. Например, уравнение $2\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) = 1$.Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2(x) + \cos^2(x)$, перепишем уравнение:$2\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$.Перенеся все слагаемые в левую часть, получим однородное уравнение второй степени:$\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0$.Далее оно решается делением на $\cos^2(x)$.

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение степени $n$ — это уравнение, в котором все члены имеют одинаковую степень $n$ относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, то есть его вид $a_n \sin^n(x) + a_{n-1} \sin^{n-1}(x)\cos(x) + \dots + a_0 \cos^n(x) = 0$.
Примеры:
- 1-й степени: $2\sin(x) + 5\cos(x) = 0$.
- 2-й степени: $\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x) = 0$.
- 3-й степени: $4\sin^3(x) - \cos^3(x) = 0$.

Решите уравнение (11.26—11.27):

11.26

а) $ \sin x - \cos x = 0; $

б) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0; $

в) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 0; $

г) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0; $

д) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0; $

е) $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 0. $

а)
Дано уравнение: $ \sin x - \cos x = 0 $.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $ \cos x $. Это можно сделать, если $ \cos x \neq 0 $. Проверим этот случай. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, и $ \sin x = \pm 1 $. Подстановка в исходное уравнение дает $ \pm 1 - 0 = 0 $, что является неверным равенством. Значит, $ \cos x \neq 0 $.
Делим уравнение на $ \cos x $:
$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:
$ \tan x - 1 = 0 $
$ \tan x = 1 $
Находим $x$:
$ x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)
Дано уравнение: $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Мы можем это сделать, так как $ \cos x \neq 0 $ (в противном случае из уравнения следовало бы $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + \sqrt{3} = 0 $
$ \tan x = -\sqrt{3} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в)
Дано уравнение: $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x - 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = 1 $
$ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)
Дано уравнение: $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x + 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = -1 $
$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д)
Дано уравнение: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x - \sqrt{3} = 0 $
$ \tan x = \sqrt{3} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

е)
Дано уравнение: $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 0 $.
Сначала разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \sin x + \cos x = 0 $
Теперь разделим обе части на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + 1 = 0 $
$ \tan x = -1 $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

11.27 a) $ \sin x - 2 \cos x = 0; $

б) $ \sin x + 5 \cos x = 0; $

в) $ 2 \sin x - \cos x = 0; $

г) $ 5 \sin x + \cos x = 0; $

д) $ 2 \sin x - 3 \cos x = 0; $

е) $ 5 \sin x + 3 \cos x = 0. $

а) $ \sin x - 2 \cos x = 0 $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Это преобразование является равносильным, так как если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из исходного уравнения следует, что $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Разделив на $ \cos x $, получим:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{2 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ \tan x - 2 = 0 $

$ \tan x = 2 $

Отсюда находим $ x $:

$ x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin x + 5 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x $, так как $ \cos x \ne 0 $ (иначе $ \sin x $ тоже должен быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству).

$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{5 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ \tan x + 5 = 0 $

$ \tan x = -5 $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \arctan(-a) = -\arctan(a) $, можно записать ответ в виде:

$ x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

в) $ 2 \sin x - \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

$ 2 \tan x - 1 = 0 $

$ 2 \tan x = 1 $

$ \tan x = \frac{1}{2} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

г) $ 5 \sin x + \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{5 \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

$ 5 \tan x + 1 = 0 $

$ 5 \tan x = -1 $

$ \tan x = -\frac{1}{5} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Или: $ x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

д) $ 2 \sin x - 3 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ 2 \tan x - 3 = 0 $

$ 2 \tan x = 3 $

$ \tan x = \frac{3}{2} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

е) $ 5 \sin x + 3 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{5 \sin x}{\cos x} + \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ 5 \tan x + 3 = 0 $

$ 5 \tan x = -3 $

$ \tan x = -\frac{3}{5} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Или: $ x = -\arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

11.28* Докажите, что уравнение

$a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x + \dots + a_{n-1} \sin x \cos^{n-1} x + a_n \cos^n x = 0,$

где $n \in N$, $a_0 \ne 0$ и ещё хотя бы один из коэффициентов $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ отличен от нуля, равносильно уравнению

$a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0.$

Для того чтобы доказать, что два уравнения равносильны, необходимо показать, что множества их решений полностью совпадают. То есть, любой корень первого уравнения является корнем второго, и любой корень второго уравнения является корнем первого.

Обозначим исходные уравнения:

Уравнение (1): $a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x + \dots + a_n \cos^n x = 0$

Уравнение (2): $a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0$

Этап 1: Докажем, что любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пусть $x_0$ является решением уравнения (1). Проверим, может ли для этого решения выполняться условие $\cos x_0 = 0$.

Если предположить, что $\cos x_0 = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x_0 + \cos^2 x_0 = 1$ следует, что $\sin^2 x_0 = 1$, а значит $|\sin x_0| = 1$.

Подставим $\cos x_0 = 0$ в уравнение (1). Все слагаемые, содержащие $\cos x$ в качестве множителя, обратятся в ноль:

$a_0 \sin^n x_0 + a_1 \sin^{n-1} x_0 \cdot 0 + a_2 \sin^{n-2} x_0 \cdot 0^2 + \dots + a_n \cdot 0^n = 0$

Уравнение примет вид:

$a_0 \sin^n x_0 = 0$

По условию задачи, коэффициент $a_0 \neq 0$. Следовательно, должно выполняться равенство $\sin^n x_0 = 0$, что означает $\sin x_0 = 0$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что для решения $x_0$ должны одновременно выполняться два условия: $\cos x_0 = 0$ и $\sin x_0 = 0$. Это невозможно, так как противоречит основному тригонометрическому тождеству ($\sin^2 x_0 + \cos^2 x_0 = 0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$).

Следовательно, наше предположение неверно, и для любого решения уравнения (1) должно выполняться условие $\cos x \neq 0$.

Поскольку для всех решений уравнения (1) $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^n x$ (так как $\cos x \neq 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $\cos^n x \neq 0$). Это преобразование является равносильным для множества решений уравнения (1).

$\frac{a_0 \sin^n x}{\cos^n x} + \frac{a_1 \sin^{n-1} x \cos x}{\cos^n x} + \frac{a_2 \sin^{n-2} x \cos^2 x}{\cos^n x} + \dots + \frac{a_n \cos^n x}{\cos^n x} = \frac{0}{\cos^n x}$

Упростим каждый член, используя тождество $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} + a_2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-2} + \dots + a_n = 0$

В результате получаем уравнение (2):

$a_0 \operatorname{tg}^n x + a_1 \operatorname{tg}^{n-1} x + \dots + a_n = 0$

Таким образом, мы показали, что любое решение уравнения (1) является решением уравнения (2).

Этап 2: Докажем, что любой корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

Пусть $x_0$ является решением уравнения (2). По определению, функция тангенса $\operatorname{tg} x$ определена только для тех $x$, для которых $\cos x \neq 0$. Следовательно, для любого решения уравнения (2) выполняется условие $\cos x \neq 0$.

Так как $\cos x \neq 0$, мы можем произвести в уравнении (2) замену $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} + \dots + a_n = 0$

Теперь умножим обе части этого уравнения на $\cos^n x$. Так как $\cos x \neq 0$, это преобразование является равносильным.

$a_0 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^n \cos^n x + a_1 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1} \cos^n x + \dots + a_n \cos^n x = 0 \cdot \cos^n x$

После сокращения степеней $\cos x$ в каждом слагаемом получаем уравнение (1):

$a_0 \sin^n x + a_1 \sin^{n-1} x \cos x + \dots + a_n \cos^n x = 0$

Таким образом, мы показали, что любое решение уравнения (2) является решением уравнения (1).

Вывод

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными. Ключевым условием для доказательства является $a_0 \neq 0$. Условие о том, что "ещё хотя бы один из коэффициентов $a_1, a_2, ..., a_n$ отличен от нуля", не является необходимым для самого доказательства равносильности, так как оно верно и в случае, когда все эти коэффициенты равны нулю.

Ответ: Равносильность уравнений доказана на основании того, что множества их решений совпадают. Ключевым шагом является установление того факта, что $\cos x \neq 0$ для решений обоих уравнений, что позволяет совершать равносильные преобразования: деление на $\cos^n x$ для первого уравнения и умножение на $\cos^n x$ для второго.