Номер 11.25, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.4. Однородные уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.25, страница 309.

11.25* Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением степени $n$? Приведите примеры.

Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением степени n?

Однородным тригонометрическим уравнением степени $n$ относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$ называют уравнение вида:$a_n \sin^n(x) + a_{n-1} \sin^{n-1}(x)\cos(x) + \dots + a_1 \sin(x)\cos^{n-1}(x) + a_0 \cos^n(x) = 0$,где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — действительные числа, и хотя бы один из коэффициентов $a_n$ или $a_0$ не равен нулю.

Главной характеристикой такого уравнения является то, что сумма показателей степеней у $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в каждом его слагаемом одинакова и равна $n$.

Стандартный метод решения таких уравнений (при $a_n \neq 0$) заключается в делении обеих частей уравнения на $\cos^n(x)$. Такое деление является корректным, так как оно не приводит к потере корней. Если предположить, что $\cos(x) = 0$, то из уравнения следует $a_n \sin^n(x) = 0$. Так как при $\cos(x) = 0$ значение $\sin(x)$ равно $1$ или $-1$, то мы получаем $a_n (\pm 1)^n = 0$, что влечет за собой $a_n = 0$. Это противоречит начальному предположению, что старший коэффициент не нулевой. Следовательно, для таких уравнений $\cos(x) \neq 0$.

После деления на $\cos^n(x)$ уравнение преобразуется в алгебраическое уравнение степени $n$ относительно $\tan(x)$:$a_n \tan^n(x) + a_{n-1} \tan^{n-1}(x) + \dots + a_1 \tan(x) + a_0 = 0$.Это уравнение решается заменой $t = \tan(x)$.

Примеры

1. Уравнение первой степени ($n=1$):Общий вид: $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$.Например, уравнение $\sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) = 0$.Разделив обе части на $\cos(x)$, получим:$\tan(x) - \sqrt{3} = 0 \implies \tan(x) = \sqrt{3}$.Решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Уравнение второй степени ($n=2$):Общий вид: $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$.Например, $3\sin^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 0$.Разделим обе части на $\cos^2(x)$:$3\tan^2(x) - 4\tan(x) + 1 = 0$.Это квадратное уравнение относительно $t = \tan(x)$. Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{3}$.Следовательно, получаем два семейства решений:$\tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$\tan(x) = \frac{1}{3} \implies x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3. Уравнение, сводимое к однородному:Некоторые уравнения можно привести к однородному виду. Например, уравнение $2\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) = 1$.Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2(x) + \cos^2(x)$, перепишем уравнение:$2\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$.Перенеся все слагаемые в левую часть, получим однородное уравнение второй степени:$\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0$.Далее оно решается делением на $\cos^2(x)$.

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение степени $n$ — это уравнение, в котором все члены имеют одинаковую степень $n$ относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, то есть его вид $a_n \sin^n(x) + a_{n-1} \sin^{n-1}(x)\cos(x) + \dots + a_0 \cos^n(x) = 0$.
Примеры:
- 1-й степени: $2\sin(x) + 5\cos(x) = 0$.
- 2-й степени: $\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x) = 0$.
- 3-й степени: $4\sin^3(x) - \cos^3(x) = 0$.