Номер 11.26, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.4. Однородные уравнения - номер 11.26, страница 309.

Условие.

Решите уравнение (11.26—11.27):

11.26

а) $ \sin x - \cos x = 0; $

б) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0; $

в) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 0; $

г) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0; $

д) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0; $

е) $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)
Дано уравнение: $ \sin x - \cos x = 0 $.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $ \cos x $. Это можно сделать, если $ \cos x \neq 0 $. Проверим этот случай. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, и $ \sin x = \pm 1 $. Подстановка в исходное уравнение дает $ \pm 1 - 0 = 0 $, что является неверным равенством. Значит, $ \cos x \neq 0 $.
Делим уравнение на $ \cos x $:
$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:
$ \tan x - 1 = 0 $
$ \tan x = 1 $
Находим $x$:
$ x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)
Дано уравнение: $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Мы можем это сделать, так как $ \cos x \neq 0 $ (в противном случае из уравнения следовало бы $ \sin x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + \sqrt{3} = 0 $
$ \tan x = -\sqrt{3} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в)
Дано уравнение: $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x - 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = 1 $
$ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)
Дано уравнение: $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x + 1 = 0 $
$ \sqrt{3} \tan x = -1 $
$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д)
Дано уравнение: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x - \sqrt{3} = 0 $
$ \tan x = \sqrt{3} $
Находим $x$:
$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

е)
Дано уравнение: $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 0 $.
Сначала разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:
$ \sin x + \cos x = 0 $
Теперь разделим обе части на $ \cos x $ (так как $ \cos x \neq 0 $).
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
$ \tan x + 1 = 0 $
$ \tan x = -1 $
Находим $x$:
$ x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.